管状ベクトル場

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ベクトル場 $\bm{A}$ をポテンシャル関数で表わせる場合，一般にはスカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\bm{X}$ を用いて，次のように表現されます．これをヘルムホルツの定理と呼ぶのでした．

$\bm{A} = \nabla \phi + \nabla \times \bm{X} \tag{1}$

特に $\bm{A}=\nabla \phi$ と書ける場合を 層状ベクトル場 と呼びました．この記事では，逆に $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}$ と書ける場合を考えます．

管状ベクトル場

ベクトル場 $\bm{A}$ が，ベクトルポテンシャルを用いて $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}$ と表わせるとき，これを 管状ベクトル場 (solenoidal) と呼びます．管状ベクトル場では， divrot=0 の関係式より，至るところ ${\rm div}\bm{A}=0$ が成り立っています．発散が無いということは『流量が途中で増えたり減ったりすることが無い』ということですから，場の中に任意にとった流管内の流量は一定になります．恐らくこれが，『ホースの中の流れ』というイメージを喚起するので，管状ベクトル場と呼ぶのでしょう．（このイメージについては，ベクトル場の流束と流管も参照してみて下さい．）

流管内は，どの断面を取っても流量が一定．

管状を，別名 回転的 と呼ぶ場合もあります．それは，場が ${\rm rot}\bm{X} \ne \bm{0}$ で表わされる流れによるからで， $\bm{X}$ も一つのベクトル場ですから，空間内の至るところに，色々な向きや強さの回転が存在するということです．（回転の意味やイメージについては， rot とベクトル奮闘記３を参照下さい．）層状ベクトル場の定理と同様，管状ベクトル場には次の定理が成り立ちます．

theorem

ベクトル場 $\bm{A}$ が管状であるための必要十分条件は， $\nabla \cdot \bm{A} = \bm{0}$ となることです．

証明の中で， $\bm{A}$ の成分 $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}=\left( \frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}, \ \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}} \right)$ を使います．

proof

必要条件は ${\rm divrot}=0$ より明らかです．十分条件を証明します． $\bm{A}=\nabla \times \bm{X}=$ で，まず $\bm{X}$ の第一成分 $X_{1}$ を任意の関数 $X_{1}=f(x_{1})$ とします．また， $A_{2},A_{3}$ をそれぞれ $x_{1}$ で積分して $\int A_{2}=\int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}} dx_{1} -X_{3}$ , $\int A_{3}= X_{2} - \int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}} dx_{1}$ を得ます． $\int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{3}} dx_{1} -X_{3}$ と $\int \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}} dx_{1}$ は何か適当な， $x_{2},x_{3}$ を変数とする関数と置き， $X_{2}=\int A_{3}dx_{1} + \phi (x_{2},x_{3})$ , $X_{3}= - \int A_{2}dx_{1} + \psi (x_{2},x_{3})$ を得ます．ただし， $\phi(x_{2},x_{3}), \ \psi(x_{2},x_{3})$ には， $A_{1}$ の表式 $A_{1}=\frac{\partial X_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{3}}$ を満たす，という条件が付きます．（この条件を満たす限りで $\phi , \ \psi$ は任意です．）このように定めた $X_{2},X_{3}$ を使って， $A_{1}$ を表わすと次のようになります． $A_{1}=- \int \frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}dx_{1} + \frac{\partial \psi }{\partial x_{2}}- \int \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}dx_{1}- \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}$ (*) ．一方， ${\rm div}\bm{A}$ より， $\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}=0$ ですから， $A_{1}$ だけ移項して両辺を積分すると， $A_{1}=- \int \frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}dx_{1} - \int \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}dx_{1}$ を得ます． (*) と見比べて，結局 $\frac{\partial \psi }{\partial x_{2}}- \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}=0$ が要請されます (**) ．ここまでの結果を使うと， $\bm{X}=(f(x_{1}), \ \int A_{3}dx_{1}+\phi , \ - \int A_{2}dx_{1}+\psi )$ と書けます．（ただし， $\phi ,\psi$ は (**) を満たすとします．）この $\bm{X}$ は確かに $\bm{A}$ のベクトルポテンシャルになっており，定理が満たされます．■