自宅で復習（rotの巻）

いよいよ最後， ．読みは”ローテーション”（ 回転）． 先生が黒板に書いた式は・・・，う〜ん， これは ばっかりで， よりも よりも，一層難しそうな顔をしている・・・．眺めていてもわからないので，先生が言われた”渦（うず）の事ですよ！”をヒントに，考えてみる事にしました．

小川の流れをヒントに

北から南に流れている小川があったとして，私が橋の上から南（下流）を見ていたとしましょう（下図参照）．

普通のイメージでは，さらさらと渦など作らずに，東の岸付近の水も，西の岸付近の水も，平行に流れて行きますよね（もうすでに頭の中で渦が巻いている方もいらっしゃるでしょうか・・・）．さて平行なはずの水流が，一体どうなれば渦を巻くのでしょう？まず東から西の方向・向きを 軸， 北から南（水流と平行）に行く方向・向きを 軸とします．もし東から西に行くほど（ 軸を正に行けば行くほど） 小川の流れが速いとすると，なんだか反時計回りに回り込んで，渦を巻きそうです．これは の増加に対応する 方向速度成分（ 方向の矢印の長さ．速度を長さで表しているだけで，長さの分，南に動くとは限らないし，もちろん の値ではない．）の変化率が正という事です．水流の速度を表すベクトル関数を

とすると， 方向成分は，スカラー関数 で表されるから，

が正で，なおかつこの値が大きければ大きいほど渦は強そうですね（下図参照）．

でもそれだけでいいんでしょうか？

まてよ，もしかしたら，下流の方が上流より，東から西方向（小川の流れに直交する方向）への速度があるかもしれません．もしそうなら，さっきとは丁度逆に，時計回りの渦を作りそうです．これは，”下流に行く（ が増加する） ”ほど，”東西方向の流れが速くなる（ が増加する）”わけですから，同様に数式で表すと

となります（下図参照）．

従って，反時計回り方向の渦は，それを差し引いた分，

が正で，値が大きければ大きいほど，強くおこりそうです．

渦の方向・向き

ところでこの渦，どの方向に向いていると表現したらいいのでしょうか？ 軸方向？それとも 軸方向でしょうか？ でも，見る間にぐるぐる回っているので，いずれの方向で表すのも難しそうです．むしろ渦の真中に，水面と垂直に棒を立てて目印とし，”棒を軸とした周りの渦である”とした方がわかりやすそうですね．渦の強さは棒の長さで表せば，遠目に見ても一目瞭然です（下図参照）．

, と来たので，棒の方向は 軸になります．つまり 軸方向の渦（これ以降，回転）はさきほどの式

と考えられます．ここで小川のイメージから離れますが，ベクトル関数を２次元（平面）から３次元（空間）に拡張して と置き， 軸方向の回転についても，順に変数を入れ替えて，

軸方向の回転についても，順に変数を入れ替えて，

とできます．これらはそれぞれ方向の違う量なので，単純に足し算はできず，それぞれ回転の 方向成分， 方向成分， 方向成分として下記のように列記するしかありません．

これはスカラー関数の三つ組みとも言えますが，それぞれを 成分に持つ，３次元ベクトルとも考えられますね．このベクトルの事を の回転（またはローテーション），記号では， と呼ぶようです．つまり回転軸は，より回転の強い軸方向に近く向いているわけです．なお普通は， という風に表記するので

という形になります（目が回りそう・・・）．

一体，何の役に？

さて，この”回転”，何に使うのでしょうか？ベクトル解析全体が，電磁気学っぽいですが，棒の周りの”回転”というと，例えば，電線に電流を流した際に，周りにできる磁界ベクトルなどを表すのに使えるそうです．磁界ベクトルを ，　電流密度ベクトルを とすると，

となる・・・，そうですよ．

みなさん，これからもベクトル解析，電磁気学頑張って下さいね．応援してます！(^-^) （私も頑張ります(>_<)）

（続き物なので ベクトル解析奮闘記1 , ベクトル解析奮闘記2 もお読みいただくと嬉しいです！）