ガウスの発散定理の応用

この記事では， ガウスの発散定理 から導ける応用的な定理を考えます．ガウスの発散定理がよく分かってない人は，先によく復習しておいて下さい．

【ガウスの発散定理】

\int \int \int \limits _{V} {\rm div}\bm{A} dV = \int \int \int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S} \tag{1}

派生する定理１

まず，特殊な場合として，ベクトル場 \bm{A} があるスカラー関数 \phi と適当な定ベクトル \bm{c} を使って \bm{A}=\bm{c} \phi と表わせる場合を考えます．このとき，式 (1) に \bm{A}=\bm{c} \phi を代入すると次式を得ます． {\rm div}(\bm{c} \phi) = \bm{c} \cdot (\nabla \phi) となることに注意して下さい．

\bm{c} \cdot \left( \int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV - \int \int \limits _{S} \phi d\bm{S} \right) = 0 \tag{2}

ここで \bm{c} は任意のベクトルでしたので，括弧の部分 =0 が要請されて次式を得ます．これは 面積分と体積分 で考えた公式に他なりません．（面積分と体積分の記事中では，微分の方向を x_{1} と仮定していましたが，式 (3) はそれが \bm{n} 方向に一般化されています．）

\int \int \int \limits _{V} \nabla \phi dV = \int \int \limits _{S} \bm{n} \phi dS \tag{3}

右辺で \bm{n} \phi と，少し変な書き方をしましたが，これは狙いがあってのことなので後で説明します．

派生する定理２

次に \bm{A} があるベクトル関数 \bm{A'} と適当なベクトル \bm{c} を使って \bm{A}=\bm{A'} \times \bm{c} と表わせる場合を考えます．このとき，式 (1) は次式のように変形できます． {\rm div}(\bm{A'} \times \bm{c} ) = \bm{c} \cdot (\nabla \times \bm{A'}) となることと， (\bm{A'}\times \bm{c}) \cdot \bm{n}= \bm{c}\cdot (\bm{n} \times \bm{A'}) に注意して下さい．（よく分からない人は ベクトルの公式２ を参考にして下さい．）

\bm{c} \cdot \left( \int \int \int \limits _{V} \nabla \times \bm{A'} dV - \int \int \limits _{S} \bm{n} \times \bm{A'} dS \right) = 0 \tag{4}

ここでも \bm{c} は任意のベクトルでしたので，括弧の部分 =0 が要請されて次式を得ます．

\int \int \int \limits _{V} \nabla \times \bm{A'} dV = \int \int \limits _{S} \bm{n} \times \bm{A'} dS \tag{5}

派生する定理３

ベクトル場 \bm{A} が，ある適当なベクトル \bm{c} とテンソル T を使って次のように表現できる場合を考えます．

A_{i} = T_{ij}c_{j} \tag{6}

これを式 (1) に代入し，前の二つの定理と同様の議論を用いると， \bm{c} が任意のベクトルであることから次式を得ます．

\int \int \int \limits _{V} \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_{j}} dV = \int \int \limits _{S} T_{ij}n_{j} dS \tag{7}

ここまで読んで，式 (3)(5)(7) が全て似たような形をしていることに気がつくと思います． \nabla の作用の仕方が， {\rm grad} か {\rm rot} か，はたまた二階のテンソルの微分なのかという違いはありますが，全て次のような形をしています．（作用の仕方が分からないので， \nabla の右側は (\cdots) としておきます．作用の仕方は，ここに入る関数次第だということにしておきます．）

\int \int \int \limits _{V} \nabla (\cdots) dV = \int \int \limits _{S} \bm{n}(\cdots) dS \tag{8}
[*]式 (3)(5)(7) が同じ形にまとめられるのは，もちろん偶然ではありません．これらが同じ公式であることは， 微分形式の理論 を勉強するとより包括的に理解できると思います．また，この記事の兄弟版とも言える ストークスの定理の応用 も併せてご覧下さい．