ガウスの発散定理

ベクトルの面積分に関して， ガウスの発散定理 と呼ばれる重要な定理があります．

theorem

【ガウスの発散定理】: $\int \limits _{V} {\rm div}\bm{A} dV = \int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S}$

式の変数や積分領域に説明が必要でしょう．左辺は体積分になっていて，というのがその積分領域です．右辺は面積分になっていて，左辺の積分領域を与える図形の，表面積だけを意味するものです．『発散の体積分が，面積分になってしまう』とは，一体どういうことなのでしょうか？この定理の意味は，物理的・直観的に，よく理解できるものなので，定理を忘れないためにも，まずは簡単に，直観的に考えてみたいと思います．

[*]	この定理を，ガウスの定理，ガウスの積分定理などと呼ぶ人もいますが，ガウス $\text{(Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855))}$ は，あらゆる数学の分野を研究しており，未だに刊行されていない著作集はページを越えるだろうと言われる数学史上最大の超人です．ガウスの定理と言われる定理は無数にあるので，なるべく正確に『ガウスの○○の定理』というように，定理の内容が伝わる名前を使った方が良いと思います．この記事も，そのような理由でガウスの発散定理としました．

ベクトル場 $\bm{A}$ は何かの流れだと考えてください．簡単のため，水の流れだとします．ベクトルの発散は，湧き出しや吸い込みを意味するのでした（ div 参照）ので，定理の左辺の意味は『領域内全体で，新たに増えたり減ったりする流れの総量』を表わすと考えられます．いま，水の圧縮性を考えていませんので，もし，湧き出しや吸い込みが全くなければ，領域に流入する水量と流出する水量は同じになるはずです．もし湧き出しがあれば，流出する水量の方が多くなり，吸い込みがあれば流入する水量が多くなるはずです．（温泉の湧き出し口か何かをイメージして下さい．）領域全体での，水量の増減がガウスの発散定理の左辺で意味されているわけです．

一方，右辺の中の $\bm{A}\cdot d\bm{S}$ は『この領域の表面における， $\bm{A}$ の法線方向成分』だと考えられますので，定理の右辺は『領域の表面全域に渡る，を通過する流れの総量』を表わすものと考えられます．つまり，定理の意味を日本語で再び書くと次のようになります．

Important

（領域全体での増減）= (領域表面で出たり入ったりした量の差)

もう一度，最初の式とこの文章を比べて，式の意味をきちんと納得できるまで考えてみて下さい．良い例ではないかも知れませんが，卑近な例としては刑務所を例にとることが出来ます．刑務所に収容されている犯罪者数の増減は，『（新たに入所してくる人数）（出所していく人数）』で表わすことが出来ます．そして，内部の様子はなかなか調べられませんが，調べたいのが増減だけならば，出入り口だけ調べていれば分かるわけです．ガウスの定理の真髄は，領域内部の 体積分を実行するのが大変場合でも，知りたいのが変化率だけならば，表面の出入りだけを調べることで済ませられる 点にあります．

次に，ベクトル場を $\bm{V}(x_{1},x_{2},x_{3})=(P(x_{1},x_{2},x_{3}),Q(x_{1},x_{2},x_{3}),R(x_{1},x_{2},x_{3}))$ と置いて，ガウスの発散定理の証明を考えます．積分領域を囲む閉曲面は，表と裏を区別できる曲面だとし，外向きの法線ベクトルを $\bm{n}$ とします．また，次元が分かりやすいように体積分は $\int \int \int$ ，面積分は $\int \int$ のように，積分記号を重ねて書くようにします．

$\int \int \limits _{V} \int \left( \frac{\partial P}{\partial x_{1}} +\frac{\partial Q}{\partial x_{2}} +\frac{\partial R}{\partial x_{3}} \right) dV &= \int \int \limits _{S}(P,Q,R)\cdot d\bm{S} \\&= \int \int \limits _{S}(P\cos (\bm{n} ,x_{1}) + Q\cos (\bm{n} ,x_{2}) + R\cos (\bm{n} ,x_{3} ) )dS$

proof

まず， $x_{1}$ 軸から考えます． $x_{1}$ 軸に平行な直線は何本でも引けますが，こうした直線のうち，閉曲面と三点以上で交わるものは無いとします．（つまり， $x_{1}$ 軸と平行でと交わるような直線は，必ず一点（接する）か二点（交接する）で交わるという仮定です．）これら交点のうち，原点に近い側を $M_{1}$ ，もう一方を $M_{2}$ とします（図１を参照）．このとき，の $x_{2}x_{3}$ 平面への射影を $S_{23}$ とすると，体積分の $x_{1}$ 軸方向成分は， $\int \int \int \limits _{V} \frac{\partial P}{\partial x_{1}}dV= \int \int \limits _{S_{23}} \left( \int \frac{\partial P}{\partial x_{1}}dx_{1} \right) dS_{23} = \int \int \limits _{S_{23}} [P(M_{2})-P(M_{1})] dS_{23}$ と表わせます．（面積分と体積分で考えた形です．）ここで，面積素 $dS_{23}$ は，点 $M_{2}$ における曲面の面積素 $dS(M_{2})$ の射影として表現できます． $dS_{23}=dS(M_{2}) \cos (\bm{n}(M_{2}), x_{1})$ ．（点 $M_{1}$ における面積素 $dS(M_{1})$ の射影も同様ですが，点 $M_{1}$ では法線ベクトルの向きが $x_{1}$ 軸の向きと逆になるため， $dS_{23}=-dS(M_{1}) \cos (\bm{n}(M_{1}), x_{1})$ のようにマイナスがつくことに注意して下さい．）これより $\int \int \limits _{V} \int \frac{\partial P}{\partial x_{1}} dV = \int \int \limits _{S} P \cos (\bm{n},x_{1})dS$ が言えます．全く同様に $\int \int \limits _{V} \int \frac{\partial Q}{\partial x_{2}} dV = \int \int \limits _{S} Q \cos (\bm{n},x_{2})dS$ ， $\int \int \limits _{V} \int \frac{\partial R}{\partial x_{3}} dV = \int \int \limits _{S} R \cos (\bm{n},x_{3})dS$ も言えるので，これらの式の辺々を足して定理が示されます．■

図１

結局，証明では，各成分毎に $\int \int \limits _{V} \int \frac{\partial P}{\partial x_{1}} dV = \int \int \limits _{S} P \cos (\bm{n},x_{1})dS$ のような形を考え，最後に三つ足すだけになっています．これら個別の関係式は面積分と体積分で考えたものです．しかし，各成分毎に成り立っている式を，単に辺々足し合わせているだけならば『なぜ成分毎の公式にしないのか？必要な時に足し合わせればいいんだから，その方が細かく使えていいじゃないか．』と思う人がいるかも知れません．ガウスの発散定理が各成分の式を足した形になっているのは，この形が 座標系によらない からです．つまり，もし x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=(u,v,w) と表わせるとして，変数を (x,y,z) から (u,v,w) に変換したとしても，ガウスの発散定理はやはり成り立つのです．これは非常に美しい結果ですし，座標成分という勝手に取った標構の向こうに，何か不動の本質的な物が見え隠れしているように思えてきます．ガウスの発散定理の座標不変性については微分形式で詳しく考える予定です．当面はとりあえず，座標不変というキーワードだけを覚えておいて下さい．

[†]	証明の中で， $x_{1}$ 軸に平行な直線は曲面と二箇所以上では交わらないと仮定しました．これは，位相的に言えば，領域の中に描いた輪を縮めていくとき，輪をどこに取っても一点にまで縮められるということです．ただし，この条件は外すことも出来ます．領域の中に，空洞（大根の鬆を想像してください）が幾つかあっても，を幾つかの小領域に分割し，それぞれに対してガウスの発散定理を適用することで，全体としてもガウスの発散定理が成り立つことが示せます．隣同士で接している小領域では，接している面での面積分が相殺するからです．

図２

[‡]	ここまでは，暗黙のうちに曲面は十分滑らかだとしていましたが，区分的に滑らかとしても定理は成り立ちます．区分的に滑らかと言うのは，幾つか尖がった点があっても良いということです．三角柱や円筒など，普通の形の領域には，たいていガウスの発散定理が安心して使えます．

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