可解群について補足

有限群 G の部分群の組成列を考えるとき，隣り合う群の商群 G_{n}/G_{n+1} が全て可換群になるとき， G を 可解群 と呼ぶのでした．

G = G_{0} \supset G_{1} \supset ... \supset G_{n-1} \supset G_{n} = \{ e \} \tag{1}

可解群の定義だけは 組成列と単純群 で紹介していますが，その役割については何も触れませんでした．名前から察せられるように，方程式の可解性を考えるときに重要な概念なのです．この記事では，後でガロア理論で使うために必要な，可解群に関する定理を導いておきます．二つ定理を紹介しますが，二番目の方が特に重要です．

theorem

群 G の正規部分群を H とします． G が可解群となるのは， H および G/H が可解群になる場合に限ります．

proof

式 (1) の組成列を考えて， H=G_{k} だと仮定します．すると H の組成列として H= G_{k} \supset... \supset G_{n} = \{ e \} を考えることが出来ます．また，商群 G/H の組成列は G/H = G_{0}/H \supset G_{1}/H \supset ... \supset G_{n}/H = \{ e \} で与えられます．ここで 第三同型定理 を使うと (G_{i+1}/H)(G_{i}/H) \sim G_{i+1}/G_{i} が言えますので，結局 G の組成列の要素である各 G_{i} は， H や G/H の組成列でも全く共通だということが示されます．これより定理が成り立つの明らかです．■

次の記事， ガロア群と可解群 の定理の証明では，次の定理を活用します．

theorem

有限巡回群は可解群です．

proof

証明は数学的帰納法によります．巡回群が一般に可換群であることより，位数が 1,2,3 までの有限巡回群は，正規部分群として \{ e\} しか含まないので，可解群になることは自明です．一般に，位数が n-1 までの巡回群が可解群になると仮定しましょう．このとき，位数 n の有限巡回群 Z_{n} に対し，もし n が素数ならば， Z_{n} の正規部分群は \{ e\} だけとなり，定理は自明です． n が素数ではないとして， n が素数 p で割り切れるとすると， シローの定理 により， Z_{n} は位数 p \ (<n) の部分群 H を持ちます．特に Z_{n} は可換群ですから， H は正規部分群で，このとき仮定より H は可解群となり， G/H も可換群になります．■

まだ，この段階では定理の使い方がピンと来ないと思いますが，ゆっくりゆっくり進んで行きましょう．