変数分離形

微分方程式

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ (6.1)

を変数分離形と呼び，微分方程式のなかで一番基本となるものである． これを解くにはまず，左辺，右辺を同じ変数だけにまとめる． 式(6.1)の場合では左辺に変数が $y$ のものを， 右辺に変数が $x$ のものをまとまる．

$$\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$$ (6.2)

このように変数をイコールをはさんで分離するのだ． そして両辺を積分する．

$$\int\frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx + C$$ (6.3)

ここで $C$ は任意定数である．式(6.3)の積分を計算し， $x=$ の形にしてやれば「微分方程式が解けた」といえる． 任意定数 $C$ は物理の場合，初期条件から求めることが多い．

例

$$\frac{dy}{dx} = -\gamma y \frac{dy}{dx} = \mu(1-y)y \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} y^2dx - x^3dy = 0$$

注意：$\log$ の積分について

不定積分 $$\int\frac{1}{1+x}dx$$ の解は $$\log\vert 1+x\vert + C$$ となり， 正確には $\log$ の中に絶対値がつくが， 任意定数を適当に書き換えると $$\int\frac{1}{1+x}dx = \log(1+x) + C$$ というふうに絶対値なしの値になる． したがって微分方程式を解くときにでてくる

$$\int\frac{1}{1+x}dx = \log\vert 1+x\vert + C$$

という種類の計算は

$$\int\frac{1}{1+x}dx = \log(1+x) + C$$

と簡略化することができ，絶対値のことを気にしなくてもいい．