同次形

関数 $f(u)$ を用いて，微分方程式が

$$\frac{dy}{dx} = f(u), \qquad u=\frac{y}{x}$$ (6.4)

という形に書けるとき，この微分方程式を同次形という． $$\frac{dy}{dx}$$ が $$\frac{y}{x}$$ だけの式で表せていることが重要である． 同次形の微分方程式は変数変換して 変数分離形にすることで解くことができる． $$u=\frac{y}{x}$$ から

$$y = ux$$ (6.5)

と変形でき，両辺を $x$ で微分すると，積の微分公式から

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(ux) = \frac{du}{dx}x + u$$ (6.6)

したがって，(6.4) 式と比較して

$$f(u) = \frac{du}{dx}x + u \qquad \therefore ~ \frac{du}{dx} = \frac{f(u)-u}{x}$$ (6.7)

となる．これを変数分離すればよい．式 (6.7) から，

$$\frac{du}{f(u)-u} = \frac{dx}{x}$$ (6.8)

両辺を積分して，

$$\int \frac{1}{f(u)-u}du = \int \frac{1}{x}dx + C \qquad \therefore ~ \int \frac{1}{f(u)-u}du = \log x + C$$ (6.9)

が得られる． 左辺の積分計算のあと，$u$ を $$\frac{y}{x}$$ で置き換え，$x=$ の形にしてやればよい．

例

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \quad \left( u=\frac{y}{x}, f(u)=\frac{1}{u} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy} \quad \left( u=\frac{y}{x}, f(u)=\frac{1+u^2}{2u} \right)$$