ベクトルの面積分に関して, ガウスの発散定理 と呼ばれる重要な定理があります.
theorem
式の変数や積分領域に説明が必要でしょう.左辺は体積分になっていて, というのがその積分領域です.右辺は面積分になっていて,左辺の積分領域を与える図形の,表面積だけを意味するものです.『発散の体積分が,面積分になってしまう』とは,一体どういうことなのでしょうか?この定理の意味は,物理的・直観的に,よく理解できるものなので,定理を忘れないためにも,まずは簡単に,直観的に考えてみたいと思います.
[*] | この定理を,ガウスの定理,ガウスの積分定理などと呼ぶ人もいますが,ガウス ![]() ![]() |
ベクトル場 は何かの流れだと考えてください.簡単のため,水の流れだとします.ベクトルの発散は,湧き出しや吸い込みを意味するのでした( div 参照)ので,定理の左辺の意味は『領域
内全体で,新たに増えたり減ったりする流れの総量』を表わすと考えられます.いま,水の圧縮性を考えていませんので,もし,湧き出しや吸い込みが全くなければ,領域
に流入する水量と流出する水量は同じになるはずです.もし湧き出しがあれば,流出する水量の方が多くなり,吸い込みがあれば流入する水量が多くなるはずです.(温泉の湧き出し口か何かをイメージして下さい.)領域
全体での,水量の増減がガウスの発散定理の左辺で意味されているわけです.
一方,右辺の中の は『この領域
の表面
における,
の法線方向成分』だと考えられますので,定理の右辺は『領域の表面
全域に渡る,
を通過する流れの総量』を表わすものと考えられます.つまり,定理の意味を日本語で再び書くと次のようになります.
Important
(領域全体での増減)= (領域表面で出たり入ったりした量の差)
もう一度,最初の式とこの文章を比べて,式の意味をきちんと納得できるまで考えてみて下さい.良い例ではないかも知れませんが,卑近な例としては刑務所を例にとることが出来ます.刑務所に収容されている犯罪者数の増減は,『(新たに入所してくる人数) (出所していく人数)』で表わすことが出来ます.そして,内部の様子はなかなか調べられませんが,調べたいのが増減だけならば,出入り口だけ調べていれば分かるわけです.ガウスの定理の真髄は,領域内部の 体積分を実行するのが大変場合でも,知りたいのが変化率だけならば,表面の出入りだけを調べることで済ませられる 点にあります.
次に,ベクトル場を と置いて,ガウスの発散定理の証明を考えます.積分領域
を囲む閉曲面
は,表と裏を区別できる曲面だとし,外向きの法線ベクトルを
とします.また,次元が分かりやすいように体積分は
,面積分は
のように,積分記号を重ねて書くようにします.
proof
まず, 軸から考えます.
軸に平行な直線は何本でも引けますが,こうした直線のうち,閉曲面
と三点以上で交わるものは無いとします.(つまり,
軸と平行で
と交わるような直線は,必ず一点(接する)か二点(交接する)で交わるという仮定です.)これら交点のうち,原点に近い側を
,もう一方を
とします(図1を参照).このとき,
の
平面への射影を
とすると,体積分の
軸方向成分は,
と表わせます.( 面積分と体積分 で考えた形です.)ここで,面積素
は,点
における曲面
の面積素
の射影として表現できます.
.(点
における面積素
の射影も同様ですが,点
では法線ベクトルの向きが
軸の向きと逆になるため,
のようにマイナスがつくことに注意して下さい.)これより
が言えます. 全く同様に
,
も言えるので,これらの式の辺々を足して定理が示されます.■
図1
結局,証明では,各成分毎に のような形を考え,最後に三つ足すだけになっています.これら個別の関係式は 面積分と体積分 で考えたものです.しかし,各成分毎に成り立っている式を,単に辺々足し合わせているだけならば『なぜ成分毎の公式にしないのか?必要な時に足し合わせればいいんだから,その方が細かく使えていいじゃないか.』と思う人がいるかも知れません.ガウスの発散定理が各成分の式を足した形になっているのは,この形が 座標系によらない からです.つまり,もし
と表わせるとして,変数を
から
に変換したとしても,ガウスの発散定理はやはり成り立つのです.これは非常に美しい結果ですし,座標成分という勝手に取った標構の向こうに,何か不動の本質的な物が見え隠れしているように思えてきます.ガウスの発散定理の座標不変性については 微分形式 で詳しく考える予定です.当面はとりあえず,座標不変というキーワードだけを覚えておいて下さい.
[†] | 証明の中で, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
図2
[‡] | ここまでは,暗黙のうちに曲面 ![]() |