変数分離

変数分離するため

$$\psi (x,t) = f(x)g(t)$$

を式(7.8.2)の $\psi(x,t)$ に代入する．

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right)f(x)g(t) =i\hbar \frac{\partial}{\partial t}f(x)g(t)$$

左辺の括弧を展開．

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x)g(t) + V(x)f(x)g(t) =i\hbar \frac{\partial}{\partial t}f(x)g(t)$$

左辺第一項は $x$ の偏微分なので $f(x)g(t)$ の $g(t)$ は偏微分と関係ないから前に出す．

$$-g(t)\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x) + V(x)f(x)g(t) =i\hbar \frac{\partial}{\partial t}f(x)g(t)$$

同様に右辺の $f(x)$ も前に出す．

$$-g(t)\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x) + V(x)f(x)g(t) =f(x)\,i\hbar \frac{\partial}{\partial t}g(t)$$

変数分離形にするため，両辺を $f(x)g(t)$ で割る．

$$-\frac{1}{f(x)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x) + V(x) =\frac{1}{g(x)}\,i\hbar \frac{\partial}{\partial t}g(t)$$

ここで，両辺は定数 $E$ とおける．

$$-\frac{1}{f(x)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x) + V(x) =\frac{1}{g(x)}\,i\hbar \frac{\partial}{\partial t}g(t) =E$$

したがって

$$-\frac{1}{f(x)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x) + V(x) = E$$ (7.8)

$$\frac{1}{g(x)}\,i\hbar \frac{\partial}{\partial t}g(t) = E$$ (7.9)

整理すると

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right)f(x) = Ef(x)$$ (7.10)

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}g(t) = Eg(t)$$ (7.11)

それぞれ一変数しか持たないので，常微分方程式になった． 特に式 (7.10) は時間 $t$ を含まないため， 定常状態のシュレディンガー方程式 と呼ばれる．