粒子であることと波であること

粒子は一ヶ所に集中した状態であり，波は空間的に広がった状態である． 粒子であり波であるという二重性は，数学的にはフーリエ変換として表現できる． フーリエ変換では，空間の $x$ 方向に変化している関数 $f(x)$ は

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}~dk$$

という積分で書ける．$e^{ikx}$ は $x$ とともに振動する関数であるから， これが波を表している．$F(k)$ は適当な重みで，$k$ は振動数だと考えればいい． つまり上式は，異なる振動数の波を積分することで， 粒子の位置を表現する $f(x)$ が得られることを示している．