テイラー級数

つぎの無限級数を $f(x)$ の $x=a$ におけるテイラー級数という．

$$f(x) =f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$

$$=f(a)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

主に有限の $n$ で展開を止めて近似式として用いる．たいていは1次か2次程度で近似する． テイラー級数で $a=0$ のもの，すなわち

$$f(x) =f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$$

$$=f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

をマクローリン級数という．また，

$$f(x+dx) =f(x)+\frac{f'(x)}{1!}dx+\frac{f''(x)}{2!}(dx)^n+\cdots$$

$$=f(x)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(dx)^n$$

である．

マクローリン級数の例

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots$$

$$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$

$$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots$$