関数
![$ f(u)$](img275.png)
を用いて,微分方程式が
![$\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(u), \qquad u=\frac{y}{x}$](img276.png) |
(6.4) |
という形に書けるとき,この微分方程式を同次形という.
![$ \displaystyle \frac{dy}{dx}$](img277.png)
が
![$ \displaystyle \frac{y}{x}$](img278.png)
だけの式で表せていることが重要である.
同次形の微分方程式は変数変換して
変数分離形にすることで解くことができる.
![$ \displaystyle u=\frac{y}{x}$](img279.png)
から
![$\displaystyle y = ux$](img280.png) |
(6.5) |
と変形でき,両辺を
![$ x$](img45.png)
で微分すると,積の微分公式から
![$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(ux) = \frac{du}{dx}x + u$](img281.png) |
(6.6) |
したがって,(
6.4) 式と比較して
![% latex2html id marker 4471
$\displaystyle f(u) = \frac{du}{dx}x + u \qquad \therefore ~ \frac{du}{dx} = \frac{f(u)-u}{x}$](img282.png) |
(6.7) |
となる.これを変数分離すればよい.式 (
6.7) から,
![$\displaystyle \frac{du}{f(u)-u} = \frac{dx}{x}$](img283.png) |
(6.8) |
両辺を積分して,
![% latex2html id marker 4475
$\displaystyle \int \frac{1}{f(u)-u}du = \int \frac{1}{x}dx + C \qquad \therefore ~ \int \frac{1}{f(u)-u}du = \log x + C$](img284.png) |
(6.9) |
が得られる. 左辺の積分計算のあと,
![$ u$](img285.png)
を
![$ \displaystyle \frac{y}{x}$](img278.png)
で置き換え,
![$ x=$](img264.png)
の形にしてやればよい.
例
物理のかぎプロジェクト / 平成19年1月14日