置換積分

積分を求めるとき，変数 $x$ の代わりに 新しい変数 $t$ を導入し， $x=\varphi(t)$ とおくと 積分が簡単になる場合がある．いま，

$$F(x) = \int f(x)dx$$ (5.5)

ならば，合成関数の微分によって

$$\frac{d}{dt}F(\varphi(t))=\frac{d}{dx}F(x)\frac{dx}{dt} =f(x)\varphi'(t)=f(\varphi(t))\varphi'(t)$$ (5.6)

より

$$F(\varphi(t))=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$$ (5.7)

が得られる．これを置換積分という．