ガンマ関数

あらゆる実数 $ \lambda  (0<\lambda)$ について, ガンマ関数はつぎの積分で定義される

$\displaystyle \Gamma(\lambda)=\int_{0}^{\infty}x^{\lambda-1}e^{-x}dx$ (11.5)

ガンマ関数は n! を解析接続した関数である.これを部分積分すると

$\displaystyle \Gamma(\lambda)=(\lambda-1) \Gamma(\lambda-1) ,\qquad \lambda\geqq2$ (11.6)

となる.特に $ \lambda$ が整数のときは

$\displaystyle \Gamma(\lambda)=(\lambda-1)!$ (11.7)

である.以下にガンマ関数の例を上げる.

$\displaystyle \Gamma(1)=1, \quad \Gamma(2)=1, \quad \Gamma(3)=2, \quad \Gamma\l...
...rac{1}{2}\sqrt{\pi}, \quad \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}$    

物理のかぎプロジェクト / 平成19年1月14日