中心化群

中心化群の定義には，ここまでに勉強してきた，共役，共役類，軌道，中心，固定部分群といった概念が全て必要になります．何となく曖昧な部分がある人は，先に復習しておきましょう．

中心化群の定義

群 G のある元 a を考えます． a に対し， ga=ag を満たす G の元を全て集めた集合は群になり，これを a の中心化群 C_{a} と呼びます．

C_{a}=\{ g|ga=ag, \ g\in G \}

『中心化群とは，群のある元に対し， 群自身への共役作用を考えるときの固定部分群である 』と言い換えることもできるでしょう．( 共役類 ， 群が集合の上で働くということ ， 固定部分群 を参照して下さい．）

中心化群に関しては，次の定理が重要です．

theorem

群 G の元 a に対し， C_{a} を a の中心化群， C(a) を a の共役類(軌道)とすると，位数に関して |G|=|C_{a}||C(a)| がなりたちます．

群の位数 |G| は定数ですから， a の中心化群が大きければ， a の共役類は小さくなり，逆に a の中心化群が小さいと， a の共役類が大きくなるということです．中心化群は固定部分群の特殊な場合ですから， 固定部分群 に出てきた式 |G|=|G(x_{0})|\cdot |G_{x_{0}}| などと比較して，もう一度頭を整理しましょう．

部分集合の中心化群

上の定義では，ある一つの元 a に対し， a に共役な元を全て集めたものを「元 a の中心化群」としました．同様に，この定義を拡張し，群 G のある部分集合 H に対し， H に属する全ての元と共役な G の元を全て集めた集合を「部分集合 H の中心化群」と定義できます．

例１

三次の対称群 S_{3}=\{ e , (1 \ 2), (2 \ 3), (1 \ 3), (1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2) \} で，例えば (1 \ 2) の中心化群を求めてみましょう．

求めたいのは， (1 \ 2)= p(1 \ 2)p^{-1} を満たす全ての p です．順番に全部試してみても，計算はすぐに済みますが，結果としては， e, (1 \ 2) の二つが求まります．よって， S_{3} の (1 \ 2) に関する中心化群は \{e, (1 \ 2) \} と決まります．確かに \{e, (1 \ 2) \} だけで群になっていますね．

例２

点 O を中心とする回転全てからなる群を考えます．このとき， x 軸を中心としたある回転 p (静止と 180 度回転を除く)に関する中心化群はどのような回転の集まりになるでしょうか．

一般に，異なる軸に関する回転操作は非可換でしたので， gp=pg を満たすような元 g もやはり x 軸回りの回転であると考えられます．逆に， g が x 軸回りの回転を表わす元ならば， gp=pg を満たします． p の中心化群は， x 軸回りの回転全て(静止と 180 度回転も含む)からなるものです．

発展：

すぐに重要な訳ではありませんが， 群の中心 の記事で軽く紹介した p 群には，興味深い定理がなりたつので，証明とともに紹介しておきます．証明の途中で中心化群を利用します．

theorem

位数が素数の平方である有限群は，可換群になります．

proof

中心 C は群 G の部分群ですから，中心の位数は，群の位数 p^2 の約数になっているはずです． 群の中心 の「群の位数と中心」のセクションで紹介した定理により，中心 C には二つ以上の元がありますから，中心の位数として可能なのは p か p^{2} だけです． p^{2} のときは，中心は群 G そのものということであり，これは群の全ての元が演算に関して交換可能，すなわち可換群であるという主張です．一方，中心の位数が p のときは， C に含まれない G の元を一つ(仮に a とします)取ると， a の中心化群は C を含み，かつ a の累乗をも含みますので，この中心化群の位数はは中心の位数 p よりも大きくなるはずです．すると中心化群の位数は p^{2} ということになりますが，この場合，中心化群が群 G そのものとなり， a が中心 C に含まれてしまうことになりますので，これは矛盾です．よって中心の位数が p ということはありえず，p群の中心は常に群そのものと一致し，可換群になりことが分かりました．■