群の元は,置換や回転など,何らかの『作用』を表わすものでした.そうした変換の集合である群に対し,いままでは群自身がどのような性質を満たすかという点にだけ注意を向けてきました.「演算について閉じている」「単位元がある」「逆元がある」等の話は,全て群自身の,つまり"群の構造"の話です.
しかし,群の元は『作用』ですから,実際に使ってみる場面では『作用を受ける対象』が何か必要です.この記事では,そのような対象に,群が働く働き方について勉強します.
群 の元
が,集合
の元に作用するとします.つまり,元
の引き起こす変換によって,
上の点が
上の点に移されるということです(図では,点
が
に移されることにしています.
と
が別のものであることに注意してください).
例えば,対称群 を考えてみましょう.このような順序の入れ替え操作自体は,抽象的なものです.しかし,この群が働きかける対象としては,例えば『正三角形の頂点
』『文字列
』『並んでいる3人の子供』などを考えることが出来ます.群と,群が働きかける集合とは,別の概念なのだという点をまずは理解して下さい.
[*] | いまのうちに,群と,群が上で働く集合とが,概念としては別のものだということをはっきりさせておいて下さい.そうしないと,いずれ『群が自分自身の上で働く』場合を勉強するときに頭が混乱してしまいます. |
[†] | 対象となる集合は何でもよいのです.群の個々の元は何らかの作用を表わしていますので,群の被作用物となる集合が必要だ,というのがこの節のポイントです. |
これを 群Gが集合M上で働く と表現します.群の元の働きのことを,数学では 作用 と呼びます.群によって 上の点がどのような作用を受けるかを追跡して行くと,次の記事で勉強する,軌道という概念に至ります.
群 が働きかける集合
という概念が出てきましたが,では一体
の元は,どのように
の元に作用するのでしょうか?そこで,どのような作用の仕方があるのかを見てみましょう.群
の元
の,
上の点に対する作用を関数とみて,一般に
の作用を
と表わすことにします.
例1,例2の方法と,逆元の方法を組み合わせた方法もあるでしょう.
他にも,色々な作用の仕方があるでしょう.結論から言えば,作用という言葉の意味を逸脱しない限り,どんな作用の仕方もあり得るのです.しかし,実用的な観点から,そして数学的な観点から興味があるのは,式番号を振っておいた三つのタイプ くらいです.これらには, 左からの作用
, 右からの作用
, 共役作用
という名前が付いています.特に,これから先の議論では共役作用が大切です.
[‡] | 群の元 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
なぜ,この三つの働き方が特に重要かというと,これらの作用の仕方は,次の三つの条件を満たすからです.これによって群 の構造と集合
の作用の受け方に,ある程度の対応がつくことになります.
本当に,この三条件が満たされているかは, として,確認してみればすぐに分かります.
[§] | 上に挙げた3つの条件がなりたてば,いかにも集合の取り扱いが楽になりそうなことは分かりますから,左作用・右作用・共役が大事なんだという所までは諒解できるかと思います.しかしこの3つの条件だけが問題ならば,左作用を考えるのが一番簡単に思えます.両側から,しかも片一方だけ逆元にして元を掛けるという,共役なんていう変チクリンな作用がどうして大事なのでしょうか?実は, 共役類 で改めて勉強しますが, ![]() ![]() ![]() |
[¶] | 共役作用だけでなく,他の作用を考えても同値関係は入れられます.一般に,群の元の作用 ![]() ![]() ![]() ![]() |
[#] | 共役に二つの定義 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |