続・ベクトルの回転

これは，Joh氏の ベクトルの回転 の記事の続編です． 次の記事は， 続々ベクトルの回転 です． 行列の回転を三次正方行列で表すと，意外ときれいな形でまとまったので書いてみました.

ベクトルの回転の行列表現

これから ベクトルの回転 で出た式を行列で表します．ではさっそく元の式を見てみましょう．

\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r}) \bm{n} + [\bm{r}-(\bm{n} \cdot \bm{r})\bm{n}]\cos \phi +(\bm{n} \times \bm{r})\sin \phi \tag{1}

ここで \bm{r}^\prime = \begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_2^\prime \\ r_3^\prime \end{pmatrix} と , \bm{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} として , \bm{n} = \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} とすると,

\begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_2^\prime \\ r_3^\prime \end{pmatrix}=\left[ \bm{n} \bm{n} + \cos \phi (I-\bm{n}\bm{n}) + \sin \phi \begin{pmatrix}0 & -n & m \\n & 0 & -l \\-m & l & 0 \end{pmatrix} \right]\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}

ここで， I は三次正方単位行列， また \bm{n}\bm{n} は \bm{n}\bm{n} = \begin{pmatrix} ll & ml & nl \\ lm & mm & nm \\ ln & mn & nn \end{pmatrix} となっていて これをテンソルと考えた時，ダイアド積（別名として「テンソル積」単に「ダイアド」とも）と呼びます．

ダイアド積は，ドットでもクロスでもなくただベクトルを並べるだけで表し，二階のテンソルの表現の一種です ． \bm{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} と \bm{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} に対し，ダイアド積 A は，

A=\bm{a}\bm{b}=\{ a_i b_j \}=\begin{pmatrix}a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{pmatrix}

となります．

そして少ししつこいかもしれませんが，

A = \bm{a} \otimes \bm{b} = \sum_{i=1,2,3 \ \ j=1,2,3}a_i b_j \bm{e}_i \otimes \bm{e}_j

とも書きます．

ところで， N= \begin{pmatrix} 0 & -n & m \\n & 0 & -l \\-m & l & 0 \end{pmatrix} と置くと， N^2= \begin{pmatrix} -m^2-n^2 & ml & nl \\ lm & -n^2-l^2 & nm \\ ln & mn & -l^2-m^2 \end{pmatrix} より， なんと

\bm{n}\bm{n}= N^2 + (l^2+m^2+n^2)I = N^2 + I

となります．よって，最終的に次の形になります．

\bm{r}^\prime = [I + N^2 + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]\bm{r}

ここで， I\bm{r} は回転前のベクトル．他は， N^2\bm{r}= \overrightarrow{PN} であり ， (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)\bm{r} = \overrightarrow{NQ} です．

その他の嬉しいこと

余談ですが結構物理では外積 \bm{n} \times の行列表現 N は もちろん \bm{n} \times(\bm{n} \times) の行列表現 N^2 の形をしたものを目にすることが多いと思います． 例えば遠心力は -m \bm{\omega} \times(\bm{\omega} \times \bm{r}) という形をしていますし， 慣性テンソル I を求める時，角運動量 L ，角速度ベクトル \bm{\omega} として，

\bm{L}= \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{\omega} \times \bm{r}_i) =- \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{r}_i \times \bm{\omega})

に対して，

\bm{L}= I \bm{\omega}

が I の定義ですから，

\begin{pmatrix}L_x \\L_y \\L_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_i m_i (y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i \\-\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i (z_i^2+x_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i \\-\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i (x_i^2+y_i^2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_x \\\omega_y \\\omega_z\end{pmatrix}

これを知っていると戸惑うことはなくなると思います．

電磁気学でも

\nabla \times (\nabla \times \bm{A})&=\begin{pmatrix}0 & -\frac{\partial}{\partial z } & \frac{\partial}{\partial y } \\\frac{\partial}{\partial z } & 0 & -\frac{\partial}{\partial x} \\-\frac{\partial}{\partial y } & \frac{\partial}{\partial x } & 0\end{pmatrix}^2 \bm{A} \\&=\left(\begin{pmatrix}\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\partial y \partial x } & \frac{\partial^2}{\partial z \partial x } \\\frac{\partial^2}{\partial x \partial y } & \frac{\partial^2}{\partial y^2 } & \frac{\partial^2}{\partial z \partial y } \\\frac{\partial^2}{\partial x \partial z } & \frac{\partial^2}{\partial y \partial z } & \frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} & 0 \\0 & 0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{pmatrix}\right)\bm{A} \\&=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\partial x \partial y } & \frac{\partial^2}{\partial x \partial z } \\\frac{\partial^2}{\partial y \partial x } & \frac{\partial^2}{\partial y^2 } & \frac{\partial^2}{\partial y \partial z } \\\frac{\partial^2}{\partial z \partial x } & \frac{\partial^2}{\partial z \partial y } & \frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{pmatrix}\bm{A}-\triangle \bm{A} \\&=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x} \\\frac{\partial}{\partial y} \\\frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}(\frac{d A_x}{dx}+\frac{d A_y}{dy}+\frac{d A_z}{dz})-\triangle \bm{A} \\&=grad(div\bm{A})-\triangle \bm{A}

という公式が少し考えるだけで書けるようになります．

追記：最後の電磁気学の例は，偏微分が交換できる時に限るようです．