ここでは,ボイルの法則とシャルルの法則からボイル-シャルルの法則を導く方法を,具体的に説明し たいと思います.
最初に,導出方法をおおまかにお話します.次の図をご覧ください.
ボイル-シャルルの法則を導く際,図中の三状態, A,B,C間の移動を考えます.つまり,まず 圧力を一定に保ったまま AからBへ移動 し,次に 温度を一定に保ったまま BからCへ移動する,という手法をとるのです.勘の良い方ならもうお分かりですね! 気体の三法則 の中でお話ししたように,「圧力を一定に保った時」成立するのは シャルルの法則 ,「温度を一定に保った時」成立す るのは ボイルの法則 です.ということは,これらの法則を順に適用していけば,ボイル-シャルルの法則を導くことができるわけです!
では実際に導出していきましょう.上図の状態Aの時の気体の体積と温度をそれぞれ ,状態Bの時の気体の体積と温度をそれ ぞれ とします.ここで は 絶対温度 です.気体の状態が圧力を一定に保ったままAからBに移動するので, シャルルの法則より
すなわち
が成り立ちます.
いよいよボイル-シャルルの法則を導出します.式(1)を式(2)に代入してみましょう.すると,
となります.これを整理すると,
となります.状態AからBへの移動では,圧力が一定なので ,状態BからCへの移動では,温度が一定なので です.これらを式(3)に代入すると,
が得られます.状態Aも状態Cも共に状態のある一点なので, はそれぞれ,ある特定の値であることがお分か りいただけると思います.ゆえに式(4)は
となります.(ここで とは定数(constant)を表します).この定数を とおくと [*] 式(5)は
となり,式(6)は任意の状態の圧力 ,体積 ,(絶対)温度 について
が成り立っていることを表します.式(7)より,
とすることができます.式(8)は,ボイル-シャルルの法則,そのものですね!これで無事,導出が完了したことがわか ります.
[*] | この は, 気体定数 と呼ばれるものです.気体定数の値を定める時,扱う気体の量は 1モル であることが決まっています.詳しくは,関連記事 気体定数 をご覧ください. |