双曲線関数に成り立つ公式は, 三角関数の公式1 に大変よく似ています.
一番目の式は,公式というよりは定義そのものです.
加法定理で と置けば出てきます.
ここで と置くと,次のようにも表せます.
加法定理で, , と置き,2倍角の公式を再び使えば導けます.もしくは,オイラーの関係式 の両辺を3乗して,工夫するのも良い方法です.
2倍角の公式から導けます.
この公式は,加法定理で , を計算しておき,うまく足したり引いたりして導きます.
積和の公式で , と置けば導けます.
逆に,和積の公式で , と置けば積和の公式が得られます.