ガウス関数のモーメントを簡単に計算する方法

この記事では，確率・統計で使われる，ガウス分布のモーメント計算を簡単にする為のテクニックを紹介します．

ちなみに，

\int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \tag{1}

は，既知であるとします．ご存知のない方は，COさんの， ガウス積分の公式 をご覧ください．

モーメントとガウス分布

分布関数 p(x) に対し， n 次（ n は整数）のモーメント \langle x^n \rangle とは，

\langle x^n \rangle = \dfrac{\int_{-\infty}^\infty x^n p(x) dx}{\int_{-\infty}^\infty p(x) dx} \tag{2}

で定義されます．ここで，式 (2) の分母は正規化を表しており，

p^\prime(x)=\dfrac{p(x)}{\int_{-\infty}^\infty p(x) dx} \tag{3}

とすれば，分布関数 p^\prime(x) は総和が 1 に等しいので， 変数 x での値を取る時の確率が p^\prime(x) となっています．

ところで，ガウス分布とは実数 \alpha (>0) として，

p_G(x)=\exp(-\alpha x^2) \tag{4}

という釣鐘（つりがね）型の分布関数をした分布です．この関数のことをガウス関数，または，ガウシアンと呼びます． グラフにすると

chromel-gaussMoment-01-t.png

と，このようになります．パラメータの \alpha は，大きいほど原点に局在する鋭い分布関数になります．

ガウス関数のモーメント

ここで，ガウス分布に関するモーメントを考えてみましょう．モーメントを表す括弧に _G の添え字をつけて， ガウス分布であることを表示しておきます．

ちなみに，

\int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \tag{5}

は，既知であるとします．

すると，まず 0 次のモーメントは，

\langle x^0 \rangle_G &= \dfrac{\int_{-\infty}^\infty x^0 p_G(x) dx}{\int_{-\infty}^\infty p_G(x) dx} \\&= \dfrac{\int_{-\infty}^\infty p_G(x) dx}{\int_{-\infty}^\infty p_G(x) dx} \\&= \dfrac{\sqrt{\pi/\alpha}}{\sqrt{\pi/\alpha}} \\&= 1 \tag{6}

となります．これは簡単でしたね．

次は， 1 次のモーメントです．

\int_{-\infty}^\infty x p_G(x) dx \tag{7}

は，

\dfrac{d}{dx}p_G(x) &= \dfrac{d}{dx} \exp(-\alpha x^2) \\&= -2 \alpha x \exp(-\alpha x^2) \tag{8}

ですから，

\int_{-\infty}^\infty x \exp(- \alpha x^2) dx &= \frac{1}{-2 \alpha }\left[ \exp(- \alpha x^2) \right]_{-\infty}^\infty \\&= 0-0 = 0 \tag{9}

より，

\langle x \rangle_G = 0 \tag{10}

です．一般にガウス関数の奇数次のモーメントは奇関数の積分範囲が原点対称な積分ですから， ゼロとなります．もし，どうしても計算で示したいときは， x^2=u と置換積分を行うとよいでしょう．

\langle x^{2n+1} \rangle_G = 0 \ \ \ \ (for \ \ \ n=0,1,2,3,\cdots) \tag{11}

それでは， 2 次のモーメントを求めます． それは部分積分を利用します．

\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp(- \alpha x^2) dx &= \dfrac{1}{-2 \alpha} \int_{-\infty}^\infty x \dfrac{d}{dx}\left( \exp(- \alpha x^2) \right) dx \\&= \frac{-1}{2 \alpha }\left[ x \exp(- \alpha x^2) \right]_{-\infty}^\infty + \dfrac{1}{2 \alpha} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d}{dx}\left( x \right) \exp(- \alpha x^2) dx \\&= 0 + \dfrac{1}{2 \alpha} \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\&= \dfrac{1}{2 \alpha}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \tag{12}

よって， 2 次のモーメントは，

\langle x^2 \rangle_G &= \dfrac{\int_{-\infty}^\infty x^2 \exp(- \alpha x^2) dx}{\int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx} \\&=\dfrac{1}{2 \alpha} \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}/ \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \\&= \dfrac{1}{2 \alpha} \tag{13}

非負の整数 n に対して， \langle x^{2n} \rangle_G は部分積分を繰り返すことで， 求めることができます．

そんな面倒をしなくても

と，ここまでモーメントの計算をしてきましたが， 実は簡単に済ませる方法があるのです．それには，

x^{2n} \exp(-\alpha x^2) = \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \exp(- \alpha x^2) \tag{14}

と書けることを利用します． x での積分と \alpha での積分を入れ替えます． つまり，

\int_{-\infty}^\infty x^{2n} \exp(- \alpha x^2) dx &= \int_{-\infty}^\infty \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \exp(- \alpha x^2) dx \\&= \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\&= \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right)^{n} \left( \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \right) \tag{15}

よって，

\langle x^2 \rangle_G &= \int_{-\infty}^\infty x^{2} \exp(- \alpha x^2) dx / \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\&= \left\{ \left( - \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \right) \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \right\} / \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \\&= \dfrac{1}{2 \alpha} \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} }/\sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \\&= \dfrac{1}{2 \alpha} \tag{16}

となり，

\langle x^4 \rangle_G &= \int_{-\infty}^\infty x^{4} \exp(- \alpha x^2) dx / \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\&= \dfrac{3}{2 \alpha}\dfrac{1}{2 \alpha} \sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} }/\sqrt{ \dfrac{\pi}{\alpha} } \\&= \dfrac{3}{4 \alpha^2} \tag{17}

となり，一般に，

\langle x^{2n} \rangle_G &= \int_{-\infty}^\infty x^{2n} \exp(- \alpha x^2) dx / \int_{-\infty}^\infty \exp(- \alpha x^2) dx \\&= \dfrac{(2n-1)!!}{2^n \alpha^{n}} \tag{18}

となることが分かります． ただし，

(2n-1)!! = (2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1

です．それでは，今日はこの辺で．お疲れ様でした．