等加速度運動

加速度一定の運動を等加速度運動という． 等加速度運動では，$t$ 秒後の速度と位置は

$$\qquad v = at+v_0$$ (1.4)

$$\qquad x = \frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$$ (1.5)

と表せる．$v_0$ と $x_0$ はそれぞれ $t=0$ のときの速度と位置であり，これらを初期条件という． 等加速度運動の式が言っているのは，「（等加速度で運動している限り）初期条件がわかれば $t$ 秒後の速度と位置がわかります，まかせてください」ということである．

これらは公式として覚えてもよいが，少々複雑な形をしている． 運動方程式を立てて積分すれば簡単に導くことができる． 例として，質量 $m$ のボールをまっすぐ投げ上げたときの運動を考えよう． 上向きに $x$ 軸をとりボールに働く力は重力のみだとして，運動方程式は

$$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -mg \qquad \therefore~ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -g$$

この両辺を積分すると，積分定数を $C_1$ として

$$\int\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t... ...t g\,\mathrm{d}t+C_1 \qquad \therefore\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-gt+C_1$$

ここで $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ というのは速度 $v$ のことだから，

$$v=-gt+C_1$$

と書き換えられる．積分定数 $C_1$ を $v_0$ とおけば

$$v=-gt+v_0$$ (1.6)

となり，式(1.4)ができあがる． 式(1.5)を求めるには，これをさらにもう一回積分する．

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\... ...t=\int(-gt+v_0)\,\mathrm{d}t+C_2 \qquad \therefore\ x=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+C_2$$

積分定数 $C_2$ を $x_0$ とおけば

$$x=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0$$ (1.7)

となり，式(1.5)のできあがりである．