商群

正規部分群と群から，剰余類を集めた集合が群になります．これを商群と呼びます．とても大事な群です．

正規部分群の演算

群 G と，その正規部分群 H を考えます． H の， G における剰余類を全て集めた集合 M (つまり M の元のひとつひとつは G の剰余類)において，二つの剰余類の間に，次のような二項演算を定義します．

(aH)(bH) \ \rightarrow \ abH \tag{1}

この演算が確かに一意的だという証明に， H が正規部分群だという点が効いてきます． aH に属する任意の元 ah_{1} と， bH に属する任意の元 bh_{2} の間には，次の演算が成り立つことが示せるでしょう．途中で，積の順番を自由に入れ替えているのは， H が正規部分群だからです．

ah_{1}bh_{2}&=ah_{1}b(aa^{-1})h_{2} \\ &=ah_{1}a^{-1}abh_{2} \\&=(ah_{1}a^{-1})h_{2}ab

ここで，定義より ah_{1}a^{-1} \in H ですから，これに h_{2} を掛けた ah_{1}a^{-1}h_{2} も H の元です( H は部分群なので，演算について閉じているはずだからです)．従って，全体で (ah_{1}a^{-1})h_{2}ab は abH に属していると言えます．確かに， (1) 式の二項演算が定義されることが分かりました．

まとめ

正規部分群 H には，次の演算規則が導入できます．可換だという点が重要です．

  1. aHbH=abH
  2. aHa^{-1}H=H
  3. (aHbH)cH=abHcH=abcH

商群

群 G の一つの正規部分群を H とします．このとき， G の H に対する商集合(つまり， H による剰余類全体の作る集合．商集合については， 完全代表系と商集合 を復習して下さい．)を 商群 ，もしくは 因子群 ， 剰余群 などと呼びます．記号は商集合と同じで G/H のように書きます．

G/H = \{H,a_{1}H,a_{2}H,... \}

一般の商集合は群にはなりませんが， H が正規部分群ならば G/H が群になるという点が大事です．前節で示したのは， G/H の元同士の演算が閉じている，ということだったのです．単位元( H )や，逆元( aH に対して a^{-1}H )もありますから，確かに G/H は群です．

[*]商群の単位元は H だという点に注意してください．
[†]商群の各元は aH のような形をしています． 準同型写像 を勉強すると『群から群の写像 f:G \ \longmapsto \ G/H で，元が f:a \ \longmapsto \ aH のように移される』というような表現がたくさん出てきます．元の形には / は関係ありません．混乱しないためにも，ここできっちり商群に慣れておきましょう．

位数の関係

有限群 G の商群 G/H は， G の剰余類の集合です． G の元の個数より剰余類の種類が多いことは無いので，位数について明らかに次の関係が成り立ちます．

|G/H| \leq |G| \tag{1}

さらに， ラグランジェの定理 より次の関係も言えるでしょう．

|G|=|H||G:H|=|H||G/H| \tag{2}

商群の位数は，常に群の位数の約数になっているということです．商群という名前は，式 (2) があたかも割り算のように見えることから来ているのでしょう．

整数の加群 Z の商群

練習問題として整数の加群 Z を考えてみます． Z に対し，ある整数 n を選びます． nZ は， n 倍数全体を表わす群で， Z の部分群になります．

nZ=\{ ...,-2n,-n,0,n,2n,...\} \subset Z

いま， Z は n の剰余で類別できます．剰余類は [m] のように表わします．例えば [3] とあるのは『 n で割ったときに余りが３になる数の集合』という意味です．

Z=[0]+[1]+[2]+...+[n-1]

商群は，この剰余類を元とする集合 \{[0],[1],...,[n-1] \} ですから，商群の元の間になりたつ演算を考えるには，これら剰余類同士の合成(この場合は加法)を考えれば良いことになります．

例えば， 5 の剰余類を考えているとき， [2]=\{...,-8,-3,2,7,12,... \} と [4]=\{...,-6,-1,4,9,14,... \} を足すと， [2]+[4]=\{...,-14,-9,-4,1,6,11,16,21,... \}=[1] となります．一般に，剰余類同士の加法には，次の関係がなりたつことが言えそうです．

[k] + [l] = [k+l] \ {\rm mod.} n

この演算規則は， n 次の巡回群に成り立つものと全く同じものです( 有限巡回群 参照)．よって， Zの商群はn次の有限巡回群に同型である と言えるのです．