この後の議論にすぐに使う概念ではありませんが,商集合と完全代表系は剰余類と一緒に覚えておくと分かりやすいので,ここでその定義を手短かに紹介します.先を急ぐ読者の方は,読み飛ばしても構いません.
群 の元
と,
の部分集合
に対し,左剰余類
という集合は次のように定義されるのでした.
そして,異なる左剰余類 によって,群
は類別できるということでした.
( は見慣れない記号かも知れませんが,集合の和集合を取るという意味です.集合に対する
だと思ってください.)
この類別に対し,各剰余類から一つずつ代表的な元を取ってきて作った集合を, GのHに対する左代表系 と呼びます.例えば は一つの左代表系です.
右剰余類に対しても,同様に右代表系を定義できます.
[*] | 群 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[†] | 群 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
さらに,左剰余類全体の作る集合 を, GのHに対する左商集合 と呼び,
のように書きます.個々の元が,それぞれ一つの集合になっているのがポイントです(つまり集合の集合です).
[‡] | 整数全体からなる加群が,整数の剰余で類別できることを 整数の加群の剰余類 で見ましたが,商集合という名前は,この剰余のイメージから来たのでしょう. ![]() |
[§] | 商集合の元の個数は,明らかに完全代表系の元の個数と同じです.これはすなわち,群 ![]() ![]() ![]() |
[¶] | 一般には商集合は群になりませんが, ![]() |