“指数をとる”について

微分方程式を解くときなどによく出てくる表現が「両辺の指数をとる」あるいは「両辺の指数関数をとる」です．これは指数を取っぱらってしまうのではなく，両辺の“対数の関係”を “指数の関係”にするという意味です．

対数と指数の関係

対数と指数の関係は

$\log_e M=P\ \Longleftrightarrow\ e^p=M$

でした． $\log_e M$ の底は自然対数の底です．これは普通省略して

$\log M$

と書きます．したがって

$\log M=P\ \Longleftrightarrow\ e^p=M \tag{1}$

となります．

たとえば

$\log y = ax+C$

という方程式があったとします．この式の「両辺の指数をとる」ということは，式(1) の関係を素直に適用してやればいいので

$\log y = ax+c\ \Longleftrightarrow\ e^{ax+C}=y$

ということになります．したがって

$\log y = ax+C$

の指数をとったら

$y=e^{ax+C}$

になります．両辺の指数をとる，という操作は頻繁に行いますので，必ずマスターしておきたいですね．