逆行列のよく使う性質

逆行列を掛けるということは， どういうことなのか． 一つの解釈を書きたいとおもいます．

基本的性質

行列はベクトルを並べたものとして考えると， 分かり易いです．

例えば，

A\bm{b}_1 &= \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\-1 & 4 & 5 \\1 & -2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\-1 \\2\end{pmatrix} \\&=3 \times\begin{pmatrix}1 \\-1 \\1\end{pmatrix}-1\times\begin{pmatrix}3 \\4 \\-2\end{pmatrix}+2 \times\begin{pmatrix}2 \\5 \\3\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}4 \\3 \\11\end{pmatrix}\tag{1}
A\bm{b}_2 &= \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\-1 & 4 & 5 \\1 & -2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\1 \\1\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}1 \\-1 \\1\end{pmatrix}+1\times\begin{pmatrix}3 \\4 \\-2\end{pmatrix}+1 \times\begin{pmatrix}2 \\5 \\3\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}6 \\8 \\2\end{pmatrix}\tag{2}
A\bm{b}_3 &= \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\-1 & 4 & 5 \\1 & -2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\4 \\-1\end{pmatrix} \\&=2 \times\begin{pmatrix}1 \\-1 \\1\end{pmatrix}+4\times\begin{pmatrix}3 \\4 \\-2\end{pmatrix}-1 \times\begin{pmatrix}2 \\5 \\3\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}12 \\9\\-9\end{pmatrix}\tag{3}

という風に，行列と列ベクトルの積は， 行列 A を列ベクトル \bm{a}_i(i=1,2,3) に分解し， 右から掛ける列ベクトル \bm{b} の成分をその係数にして 掛け合わせたものとなります．

この三つの列ベクトルを並べて行列を作りますと，

AB &= \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\-1 & 4 & 5 \\1 & -2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1 & 2 \\-1 & 1 & 4 \\2 & 1 & -1\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}4 & 6& 12 \\3 & 8& 9\\11 & 2& -9\end{pmatrix}\tag{4}

逆行列

ここで，有限次元の行列 A を構成する列ベクトル \bm{a}_i (i=1,2,3) を並べたものとして， 更に， A が逆行列を持つ（正則である）と考えてみましょう [*] ． A の逆行列を A^{-1} と置きます．

[*]行列は行基本変形や列基本変形で標準形を求めたとき， 階数が行列の次元に等しいと正則といい， 逆行列をもつのでした．

すると，逆行列の定義から，

A^{-1}A &= A^{-1}\begin{pmatrix}\bm{a}_1&\bm{a}_2&\bm{a}_3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \tag{5}

つまり，これを分解すると，

A^{-1} \bm{a}_1 = \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix}
A^{-1} \bm{a}_2 = \begin{pmatrix}0 \\1 \\0\end{pmatrix}\tag{6}
A^{-1} \bm{a}_3 = \begin{pmatrix}0 \\0 \\1\end{pmatrix}

と成ります．

重ね合わせの原理

行列と列ベクトルは線形性を持ちます．

つまり，行列 A,B とし，列ベクトル \bm{x},\bm{y} は，

(A+B)\bm{x}=A\bm{x}+B\bm{x} \tag{7}
A(\bm{x}+\bm{y})=A\bm{x}+A\bm{y} \tag{8}

が成り立ちます．

よって，式 (6) の第一式に係数 x_1 を掛け， 第二式に x_2 を掛け，第三式に x_3 を掛け 足し合わせたものを作ると，

A^{-1} \bm{x} &= A^{-1}(x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+x_3\bm{a}_3) \\ &= \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix} \tag{9}

と成ります．つまり，逆行列 A^{-1} は，列ベクトル \bm{x} を，列ベクトル \bm{a}_i の線形結合

\bm{x}=\sum_i x_i \bm{a}_i \tag{10}

として表した 時の， \bm{a}_i の係数を列ベクトルとして 取り出す操作であることが分かります．

これで，列ベクトル \bm{x} の代わりに， 行列 X に作用させた時を考えると，

A^{-1}X &= A^{-1}\begin{pmatrix} x_1 \bm{a}_1 +x_2 \bm{a}_2 +x_3 \bm{a}_3 & y_1 \bm{a}_1 +y_2 \bm{a}_2 +y_3 \bm{a}_3 & z_1 \bm{a}_1 +z_2 \bm{a}_2 +z_3 \bm{a}_3 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{pmatrix} \tag{11}

となる訳です．

その他応用例

ここで簡単な応用例を書きます． n 次元正方行列 A の固有ベクトルが，次元の数 n 個あるとき， 固有値を \lambda_i ，固有ベクトルを \bm{p}_i とします． 固有ベクトルを並べた n 次の行列を P とします． ここで， P^{-1}AP という行列を考えると，

P^{-1}AP &= P^{-1}\begin{pmatrix}\lambda_1 \bm{p}_1 & \lambda_2 \bm{p}_2 & \cdots & \lambda_n \bm{p}_n \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\0 & 0 & 0 & \lambda_n\end{pmatrix}

となり，対角化されることが分かりますね．

それでは，今日はこの辺で．