積分変換

積分変換という手法の，超入門です．

積分変換

ある関数 f(t) を， g(\alpha) に変換することを考えます．変換の仕方なんて，いくらでもあるわけですが，特に次のように積分を利用するものを積分変換と呼びます．

g(\alpha )=\int _{a}^{b} f(t) K(\alpha, t)dt \tag{1}

積分する前に，なんだか知らない関数 K(\alpha, t) を掛けるというのがポイントです．この K を 核 と呼びます．積分区間は，核によって適当に定められるのが普通です．

いくつかの例

例えば K(\alpha, t)=e^{i\alpha t} だと，フーリエ変換というものになります．

g(\alpha )=\int _{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\alpha t} dt \tag{2}

もし K(\alpha, t)=e^{-\alpha t} だと，これも有名なラプラス変換というものになります．

g(\alpha )=\int _{0}^{\infty} f(t) e^{-\alpha t} dt \tag{3}

電気信号などの理論に出てくるMellin変換というのは， K(\alpha, t)=t^{\alpha -1} の場合です．

g(\alpha )=\int _{0}^{\infty} f(t) t^{\alpha -1} dt \tag{4}

積分変換の気持ち

核の種類によって，ものすごい種類の積分変換があって，専門家でない人は，自分に関係ないものを覚える必要はありません．

しかし，一般に積分変換を行うと，何が便利なのか，ということを理解しておくのは大事です．例えば，ラプラス変換は，大抵の理工系の大学で，いつかは習うものですが，ラプラス変換を行うと，微積分が，掛け算や割り算に変わってしまうのでした．微分方程式をラプラス変換しておいて，掛け算や割り算でそれを解き，ラプラス逆変換をしてやれば，魔法のように答えが出てしまうわけです．

ラプラス変換によって，微積分の世界から，一瞬，掛け算割り算の世界に移動し，計算を済ませてから，また元の世界に戻ってきたという感じです．

Joh-Integ.gif

私が小さい頃，もう題名は忘れてしまいましたが，「宇宙刑事なんとか」とかいうようなテレビ番組があり，そこでは悪者と戦うとき，何故か超空間にワープして戦っていました．その空間では，宇宙刑事のパワーが何倍にもなる，というナレーションが毎回入るのが印象的でした． [*] 積分変換というのは，宇宙刑事がしていたこととまさに同じです．自分が戦いやすい世界に敵をひきずり込んでおき，やっつけておいてから，また元の世界に戻るための，数学的ワープが積分変換です．

どんな世界に引きずり込みたいかは，使う人次第ですが，積分変換とは,一般に，そんなもんだと思っておいて下さい．

[*]その空間では，宇宙刑事のパワーではなくて，悪者の方のパワーが何倍にもなるのではないか，という御指摘を頂いております．そのテレビ番組の筋はよく覚えていませんが，悪者のパワーが増すような空間で戦うのは得策ではありません．みなさんは，自分が計算しやすい空間に敵を引きずり込むようにして下さい．