超関数入門

超関数の計算方法を簡単に例示してみることにします．

超関数の計算で基本になるのは，次のようなスカラー積（汎関数）です． f(x) が超関数， $\phi(x)$ が試料関数と呼ばれるものです．

$\langle f,\phi \rangle = \int f(x) \phi(x) dx \tag{1}$

おおざっぱに言って，この $\phi$ はが十分大きいところで，十分速く減衰しゼロになることを要求します．それを試料関数空間といいます．そうすると，無限遠でゼロにならない超関数でも，スカラー積が有限値で定まります．　 $\phi$ が試料関数空間でいろいろ動いたとき，常に $\langle f,\phi \rangle = \langle g,\phi \rangle$ を満たしてるならば，超関数の意味で f=g と同一視するのです．

超関数の微分

そういっても，何が嬉しいのかわからないと思うので，簡単な例を示します．階段関数 $\Theta(x)$ の微分を求めてみます．これは， x<0 では０， x>0 では１をとる関数です． x=0 の値は定義されていません．まず，準備として，関数の微分を求めておきます．

$\langle \dfrac{d}{dx}f ,\phi \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{df}{dx}(x) \phi(x) dx \\&= \left[ f(x) \phi(x) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \dfrac{d \phi}{dx}(x) dx \\&= - \langle f ,\dfrac{d \phi}{dx} \rangle \tag{2}$

試料関数が無限遠で十分速く小さくなるので，境界項 $\left[ f(x) \phi(x) \right]_{-\infty}^{\infty}$ はゼロとなる事を，用いました．微分が移ると，マイナスの符号がつくことにご注意ください．では，階段関数の微分に入ります．

$\langle \dfrac{d \Theta}{dx} ,\phi \rangle &= - \langle \Theta ,\dfrac{d \phi}{dx} \rangle \\&= - \int_{-\infty}^{\infty} \Theta \dfrac{d \phi}{dx} dx \\&= - \int_0^{\infty} \dfrac{d \phi}{dx} dx \\&= - \left[ \phi \right]_0^\infty \\&= - \left( \phi(\infty) - \phi(0) \right) \\&= \phi(0) \\&= \langle \delta(x) , \phi \rangle \tag{3}$

ここで，δ関数が出てきました．つまり， $\dfrac{d \Theta}{dx}(x) = \delta(x)$ が超関数の意味で成立します．

超関数のフーリエ変換

超関数の考え方では，フーリエ変換

$\hat{f}(k) &= \mathcal{F}[f(x)] = \int f(x) e^{-ikx} dx \tag{4} \\f(x) &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(x)] = \dfrac{1}{2 \pi} \int \hat{f}(k) e^{ikx} dk \tag{5}$

を拡張することもできます．例えば， f(x) = x のフーリエ変換はいくつとなるでしょう？これは従来のフーリエ変換では，積分が発散してうまく求まりません．ところが，超関数の意味では求めることができるのです．超関数のフーリエ変換の定義は，次のようになります．

$\langle \mathcal{F}[f(x)] , \phi(k) \rangle &= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dx \right) \phi(k) dk \\&= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \phi(k) e^{-ikx} dk \right) f(x) dx \\&= \langle f(x) , \mathcal{F}[\phi(k)] \rangle \tag{6}$

まず， f(x)=x のフーリエ変換の前にいくらかフーリエ変換の例を考えてみましょう．

$\langle \mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] , \phi(x) \rangle &= \dfrac{1}{2 \pi } \int \left( \int \delta(k) e^{ikx} dk \right) \phi(x) dx \\&= \dfrac{1}{2 \pi } \int 1 \times \phi(x) dx \\&= \langle \dfrac{1}{2 \pi } , \phi(x) \rangle \tag{7}$

よって，

$\mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] = \dfrac{1}{2 \pi } \tag{8} \\\mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delta(k)] = 1 \tag{9}$

が言えました．これと，公式

$\mathcal{F} \mathcal{F}^{-1} [f(k)] = f(k) \tag{10}$

を用いると，

$\mathcal{F}[1] = \mathcal{F} \mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delta(k)] = 2 \pi \delta(k) \tag{11}$

が分かります．

では，いよいよ f(x)=x のフーリエ変換です．後で具体的計算を書きますので，俯瞰図としてご覧ください．

$\langle \mathcal{F}[x] , \phi(k) \rangle &= \langle x, \mathcal{F} [ \phi(k) ] \rangle \\&= -i \langle 1 , \mathcal{F} \left( \dfrac{d \phi}{dk} \right) \rangle \\&= -i \langle \mathcal{F}[1] , \dfrac{d \phi}{dk} \rangle \\&= -i \langle 2 \pi \delta(k) , \dfrac{d \phi}{dk} \rangle \\&= 2 \pi i \langle \dfrac{d \delta(k)}{dk} , \phi(k) \rangle \tag{12}$

よって，

$\mathcal{F}[x] = 2 \pi i \dfrac{d \delta(k)}{dk} \tag{13}$

が分かりました．詳しい計算を書きますと，式 (12) は，

$\int \left( \int x e^{-ikx} dx \right) \phi(k) dk &= \int x \left( \int \phi(k) e^{-ikx} dk \right) dx \\&= \int x \left( [ \phi(k) \dfrac{e^{-ikx}}{-ix} ] + \int \dfrac{d \phi(k)}{dk} \dfrac{e^{-ikx}}{ix} dk \right) dx \\&= \dfrac{1}{i}\int \left( \dfrac{d \phi(k)}{dk} e^{-ikx} dk \right) dx \\&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} \left( \int e^{-ikx} dx \right) dk \\&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} 2 \pi \delta(k) dk \\&= -2 \pi i \int \dfrac{d \phi}{dk} \delta(k) dk \\&= -2 \pi i \left( \left[ \phi \delta(k) \right] - \int \phi \dfrac{d \delta(k)}{dk} dk \right) \\&= 2 \pi i \int \phi \dfrac{d \delta(k)}{dk} dk \tag{14}$

これで，証明完了です．同様に，

$\mathcal{F}[x^n] &= 2 \pi i^n \dfrac{d^n \delta(k)}{dk^n} \tag{15} \\\mathcal{F}[\dfrac{d^n \delta(x)}{dx^n}] &= (ik)^{n} \tag{16}$

が成立します．それでは，今日はこの辺で．お疲れ様でした．

[home] [物理数学] [ページの先頭]