畳み込み積分の微分

この記事では，

I(x) = \int_0^x f(x,t)dt \tag{1}

の微分，

\dfrac{dI}{dx} = \dfrac{d}{dx} \int_0^x f(x,t)dt \tag{2}

を求めた後，畳み込み積分の微分，

\dfrac{dJ}{dx} = \dfrac{d}{dx} \int_0^x f(t)g(x-t) dt \tag{3}

を求めます．

証明１：微分の定義に従う

まずは微分の定義に従ってこの \dfrac{dI}{dx} を求めてみましょう．

まずは復習です． I(x) の微分の定義は， \lim(dx \to 0) の時，

\dfrac{df}{dx} = \dfrac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \tag{4}

でしたね．よって， I の微分は， f(x,t) の t に関する原始関数を F(t) とおくと（つまり， \dfrac{d}{dt}F(t)=f(x,t) であり，ここで t=x とおけば， \dfrac{d}{dt}F(t)|_{t=x}=f(x,x) となります．），適宜 \lim(dx \to 0) ととれば，

\dfrac{d}{dx} \int_0^x f(x,t)dt &= \dfrac{I(x+dx)-I(x)}{dx} \\&= \left( \int_0^{x+dx} f(x+dx,t) dt - \int_0^{x} f(x,t) dt \right) / dx \\&= \left( \int_0^{x+dx} f(x+dx,t) dt - \int_0^{x} f(x,t) dt \right. \\&- \left. \int_x^{x+dx} f(x,t) dt + \int_x^{x+dx} f(x,t) dt \right) / dx \\&= \left( \int_0^{x+dx} f(x+dx,t) dt - \int_0^{x+dx} f(x,t) dt \right. \\&+ \left. \int_x^{x+dx} f(x,t) dt \right) / dx \\&= \int_0^{x+dx} \dfrac{f(x+dx,t)-f(x,t)}{dx} dt \\&+ \int_x^{x+dx} f(x,t) dt / dx \\&= \int_0^{x+dx} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt \\&+ \left( F(t)|_{t=x+dx} - F(t)|_{t=x} \right) / dx \\&= \int_0^{x+dx} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt+ \left. \dfrac{d F(t)}{dt} \right| _{t=x} \\&= \int_0^{x} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt + f(x,x) \tag{5}

よって結果だけを書くと，

\dfrac{d}{dx} \int_0^x f(x,t)dt &= \int_0^{x} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt + f(x,x) \tag{6}

となります．これだけではちょっと不安なので，同じ計算を別の方法でやってみます．

証明２：多変数の微分として見る

まず， x と y をパラメータ s の変数としてみます．最後に y \to x , s \to x とします．そこで，考えるのは

\dfrac{dI}{ds}&= \dfrac{d}{ds} \int_0^x f(y,t)dt \\&= \dfrac{\partial I}{\partial x}\dfrac{d x}{d s}+\dfrac{\partial I}{\partial y}\dfrac{d y}{d s} \\&= f(y,x) \cdot \dfrac{dx}{ds} + \int_0^x \dfrac{\partial f(y,t)}{\partial y} dt \cdot \dfrac{dy}{ds} \\&\to f(x,x) + \int_0^{x} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt \tag{7}

となり，同じ結果になりました．どうやら正しそうですね．一応注意しておくと， \int_0^{x} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt は， f(x,t) を t を定数と見て x で偏微分したのち，今度は x を定数と見て t で積分したものです．

証明３：合成関数の微分として見る

基本的には証明２と同じですが，よりシンプルだということで記しておきます．

積分の二つのxを別の変数と見て，二変数の関数 x と y との関数と見なします．どちらを y としても最後に y \to x とするので，同じことになります．すると，求めたい微分は

\dfrac{dI}{dx}&= \dfrac{d}{dx} \int_0^x f(y,t)dt \\&= \dfrac{\partial I}{\partial x}+\dfrac{\partial I}{\partial y}\dfrac{d y}{d x} \\&= f(y,x) + \int_0^x \dfrac{\partial f(y,t)}{\partial y} dt \cdot \dfrac{dy}{dx} \\&\to f(x,x) + \int_0^{x} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt \tag{8}

と同じ結果となります．

具体例で確かめる

では，得られた結果を具体例で確認してみましょう． f(x,t)=xe^{-t} を計算してみます．

\dfrac{d}{dx} \int_0^x f(x,t)dt &= \dfrac{d}{dx} \int_0^x x e^{-t} dt \\&= \dfrac{d}{dx} \left[ -x e^{-t} \right]_{t=0}^{t=x} \\&= \dfrac{d}{dx} \left( -x e^{-x} + x \right) \\&= (x-1) e^{-x} + 1 \tag{9}

となります．ここで， f(x,x)=xe^{-x} であり， \int_0^{x} \dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} dt = -e^{-x}+1 ですから，両者は一致します．

畳み込み積分の微分

関数 f(x),g(x) の畳み込みとは以下のような積分になります．

(f \ast g)(x) = \int_0^x f(t) g(x-t) dt \tag{10}

これは， f(x,t) \to f(t)g(x-t) として，先ほど得られた結果を用いれば良く，

\dfrac{d}{dx}(f \ast g)(x) &= \dfrac{d}{dx} \int_0^x f(t) g(x-t) dt \\&= \int_0^x f(t) \dfrac{\partial g(x-t)}{\partial x}dt + f(x)g(x-x) \\&= (f \ast \dfrac{\partial g}{\partial x})(x)+f(x)g(0) \tag{11}

と分かります．それでは，今日はこの辺で．お疲れ様でした．