平方完成の図形的イメージ

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2次方程式を解く際，「平方完成」という操作を行います．はじめて授業で習ったとき，どうも変形の本質というか，イメージが掴めなかった方も多いのではないでしょうか．平方完成の“図形的イメージ”を捉えることを目標に，この記事を書きました．

平方完成とは

2次方程式を解くときに，「なんとかの二乗＝定数」という形に変形することを，平方完成と呼びます．たとえば

x^2+bx=c

という2次方程式を平方完成すると，

$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=c+\left(\frac{b}{2}\right)^2$

になります．この式変形の意味を，何とか図形的にイメージすることはできないでしょうか．

図形的意味

一般式ではイメージし辛いので，つぎのように具体的な2次方程式を考えます．

$x^2 + 11x = 33 \tag{1}$

この式の意味は「ある数を二乗したものと，ある数に11を掛けたものを足すと，33である」ということです．そして，方程式の解を求めるとは，「ある数」が具体的にいくらなのかを決めることです．式 (1) をなんとか図形的に表したいのですけど，どうしよう．そうだ，“2次”なのだから，面積に例えられないでしょうか．四角形の面積は，一辺掛ける一辺，という2次の問題です．特に正方形ならば，辺の長さの二乗，という問題になります． 2次方程式を，正方形の面積を求める問題 [*] に置き換えてみましょう．

[*]	この図形的な方法は，アラビアのアル・クワリズミという数学者が考えたそうです．ちなみに，“アル・クワリズミ”は“アルゴリズム”の語源だとか．

正方形とその面積

まずは式 (1) の右辺を，正方形の面積として表現することにします．正方形の絵を描いておきます．

残るは式 (1) の左辺を，正方形の辺の長さで表せれば， 2次方程式を図形的に表したことになります．しかし式 (1) の左辺は

x^2 + 11x

なので，正方形の辺の長さにする，と言ってもなんだか良くわかりません．しかしこれが x^2 だったらどうでしょう．この場合，辺の長さはで良いですよね．一辺の長さがの正方形の面積は， x^2 ですからね．

x^2 + 11x を「何とかの二乗」に近づけるため，つぎの式変形を行います．

$x^2 + 11x = \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 \tag{2}$

ひとまず，「何とかの二乗」に近づきました．マイナスが付いた項が出てくるのは，両辺の値を等しくするためです．式 (2) の右辺を式 (1) の左辺に代入してみましょう．

$\left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 = 33 \tag{3}$

となります．

仮にマイナスの項を無視して考える

ここで一時的に，式 (3) においてマイナスの項を「なかったこと」にして考えてみると

$\left(x + \frac{11}{2}\right)^2 = 33$

であり，この式は，図形的につぎの図で表せます．一辺の長さが $x + \frac{11}{2}$ の正方形ですね．

色分けしているのにはちゃんと意味があります．図にもう少し情報を書き込んでみます．

一辺の長さが $x + \frac{11}{2}$ であるという情報を元に，このように，全体を4つの四角形に分けることができます．

面積の正方形が1つ
面積 $\frac{11}{2}x$ の長方形が2つ，
面積 $\left(\frac{11}{2}\right)^2$ の正方形が1つ

です．図の右下の，面積 $\left(\frac{11}{2}\right)^2$ の正方形に注目してください．

マイナスの項もちゃんと考える

マイナスの項をちゃんと考えるには，両辺に「マイナスの項と同じもの」を足して打ち消す，という方針を取ります．つまり

$\left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 = 33$

を

$\left(x + \frac{11}{2}\right)^2 = 33 + \left(\frac{11}{2}\right)^2 \tag{4}$

とすれば良いのですね．いまの場合，まるっきり無視したのではなく，左辺から引いた分を右辺に足しているので，方程式の整合性は保たれています．しかし今度は，全体の面積に相当する右辺の値が増えてしまいました．これは，つぎの図のように考えます．

左側の「一部が欠けた正方形」の面積こそが，式 (1) の右辺に相当し，右側の「ちゃんとした正方形」が，変形した式 (4) の右辺に相当している，ということです．

まとめ

平方完成とは，このように正方形を完成させて，問題解決を簡単にすることだったのです．

x^2 + 11x = 33

のように x^2 の項との項が別々だと難しいですが，

$\left(x + \frac{11}{2}\right)^2 = 33 + \left(\frac{11}{2}\right)^2$

と平方完成するとは一箇所にまとまるので，問題を考えやすくなります [†] ．変形の必然性，意味が少しでも納得できれば記憶も定着しやすいですし，なるほど！と思えれば勉強が楽しいものになりますね．

[†]	正方形の面積，というイメージは思い浮かべやすいですが，じゃあ面積が負の場合はどうなるんだろう，という疑問にもつながります．そこは割り切っておきましょう．

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