平均値

粒子の位置の平均値は

$$\langle q \rangle = \int \psi^* q\,\psi~dq$$

で与えられる．また，運動量の平均値（期待値）は

$$\langle p \rangle = \int \psi^* \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}\,\psi~dq$$

で与えられる．シュレディンガー方程式から，エネルギーの平均値（期待値）

$$\langle H \rangle = \int \psi^* H\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}, q\right)\,\psi~dq = E$$

が得られる．これらを一般化すると，座標 $q$ とそれに正準共役な 運動量 $p$ で与えられる物理量 $Q(p,q)$ に対応する量子力学での期待値は

$$\langle Q \rangle = \int \psi^* Q\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}, q\right)\,\psi(q)~dq$$

で与えられる．