三つにわかれるもの 1

まず,

$\displaystyle \frac{x+a}{x(x+b)(x+c)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}$ (9.10)

と変形できることを覚えておこう.例として

$\displaystyle \frac{2x+1}{x(3x+1)(x-1)}$ (9.11)

を部分分数に分解してみる.これを

$\displaystyle \frac{2}{3}\frac{x+\frac{3}{2}}{x(x+\frac{1}{3})(x-1)}$ (9.12)

と変形して $ x$ の係数を $ 1$ にしてやる.それから

$\displaystyle \frac{x+\frac{3}{2}}{x(x+\frac{1}{3})(x-1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+\frac{1}{3}}+\frac{C}{x-1}$ (9.13)

という関係をつかって,先ほどと同じように $ A,B,C$ を求める. 計算すると $ \displaystyle A=\frac{9}{2}$ $ \displaystyle B=-\frac{21}{4}$ $ \displaystyle C=\frac{3}{4}$ と求まるので,

$\displaystyle \frac{2x+1}{x(3x+1)(x-1)}$ $\displaystyle = \frac{2}{3}\frac{x+\frac{3}{2}}{x(x+\frac{1}{3})(x-1)}$    
  $\displaystyle = \frac{2}{3}\left(\frac{\frac{9}{2}}{x}+\frac{-\frac{21}{4}}{x+\frac{1}{3}}+\frac{\frac{3}{4}}{x-1}\right)$    
  $\displaystyle = \frac{1}{3}x - \frac{7}{2}\frac{1}{x+\frac{1}{3}} + \frac{1}{2}\frac{1}{x-1}$    

というふうに三つの分数に分解することができる.

物理のかぎプロジェクト / 平成19年1月14日