曲線上の近接した2点
![$ \mathrm{P},\mathrm{P}'$](img404.png)
をとり,
![$ \mathrm{P}'$](img405.png)
を限りなく
![$ \mathrm{P}$](img406.png)
に近づけるとき,
![$ \mathrm{PP}'$](img407.png)
を延長した直線は曲線に接した直線になる.これを接線
という.
また P において接線と直交する直線を法線
という.
曲線上の2点
![$ \mathrm{P},\mathrm{P}'$](img404.png)
の位置ベクトルを
![$ \bm{r},\bm{r}'$](img408.png)
とすると,
ベクトル
![$ \overrightarrow{\mathrm{PP}'}$](img409.png)
は
![$ d\bm{r}=\bm{r}'-\bm{r}$](img410.png)
で表される.
曲線上のある点から運動の向きに測った弧の長さを
![$ s$](img411.png)
とすると,
点
![$ \mathrm{P}$](img406.png)
の位置ベクトルは
![$ s$](img411.png)
の関数として
![$ \bm{r}=\bm{r}(s)$](img412.png)
で与えられる.そうすると
![$\displaystyle \frac{d\bm{r}(s)}{ds}=\lim_{\varDelta s \to 0}\frac{\bm{r}(s+\varDelta s)-\bm{r}(s)}{\varDelta s}$](img413.png) |
(7.20) |
は点
![$ \mathrm{P}$](img406.png)
における曲線の接線ベクトル
である.
また,
![$ \varDelta s \to 0$](img414.png)
の極限では弧の長さ
![$ \varDelta s$](img415.png)
と
ベクトル
![$ \overrightarrow{\mathrm{PP}'}$](img409.png)
の長さは等しくなる
![$\displaystyle \lim_{\varDelta s \to 0}\frac{\vert\varDelta\bm{r}\vert}{\vert\varDelta s\vert} = 1.$](img416.png) |
(7.21) |
したがって,
![$\displaystyle \bm{t}(s) = \frac{d\bm{r}(s)}{ds}$](img417.png) |
(7.22) |
は単位接線ベクトルである.
物理のかぎプロジェクト / 平成19年1月14日