$f'(x)/f(x)$ 型

$\log f(x)$ の微分 $(\log f(x))'=f'(x)/f(x)$ を積分すると，公式

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log f(x) + C$$ (5.10)

が得られる．つまり被積分関数が $f'(x)/f(x)$ という形に変形できる場合は，一瞬で積分できる．

例 1

$$\int \frac{u}{1-u^2} du = -\frac{1}{2}\int \frac{(1-u^2)'}{1-u^2} du = -\frac{1}{2}\log \vert 1-u^2\vert + C$$

例 2

$$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}dx = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x}dx = -\log\vert\cos x\vert+C$$