合成関数の微分

$y=f(x)$, $z=g(x)$ のとき合成関数 $y=f(g(x))$ の導関数は，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}=f'(z)\frac{dz}{dx}=f'(g(x))g'(x)$$ (4.16)

のように（外側の微分）$\cdot$（中身の微分）という形になる． この公式はchain ruleとも呼ばれる．以下に例を示す．

$$\frac{d}{dx}e^u =\frac{de^u}{du}\frac{du}{dx}=e^u\frac{du}{dx}$$

$$\frac{d}{dx}e^{4x^2} =\frac{d(e^{4x^2})}{d(4x^2)}\frac{d(4x^2)}{dx}=e^{4x^2}\cdot 8x$$

$$\frac{d}{dx}(x^3+1)^2 =\frac{d(x^3+1)^2}{d(x^3+1)}\frac{d(x^3+1)}{dx}=2(x^3+1)(3x^2)$$

$$\frac{d}{dx}\sin u =\frac{d\sin u}{du}\frac{du}{dx}=\cos u\frac{du}{dx}$$

$$\frac{d}{dt}\cos 2\pi\omega t =\frac{d(\cos 2\pi\omega t)}{d(2\pi\omega t)}\frac{d(2\pi\omega t)}{dt}=-\sin 2\pi\omega t\cdot 2\pi \omega$$