ガロア群の例

ガロア群の定義はそれほど難しくありませんでしたが，ガロア群が具体的にどのような群であるか，すなわち，その元である自己同型写像がどのようなものであるかが，まだあまりピンと来ていないと思います．

実は，ガロア群の元は体によって簡単に決まる場合もあれば，なかなか求めるのが難しいような場合もあり，一般にはなかなか簡単に決まりません．特に，拡大次数が大きい場合には大変です．ガロア群を決定するための万能の方法はありませんが，幾つかの例と定理を見ながら，ガロア群に少しずつ慣れていきましょう．

まず，体の自己同型写像の定義を復習しましょう．

$\phi (\alpha + \beta )=\phi (\alpha )+\phi (\beta ) \tag{1}$

$\phi (\alpha \beta )=\phi (\alpha )\phi (\beta ) \tag{2}$

有理数体をに写す自己同型写像には，恒等写像しかないことが分かります．これは背理法ですぐに示せますが，もしも，ある有理数が違う有理数に写される場合があれば，式 (1)(2) が成り立たない反例をすぐに示せるからです．

Important

有理数体をに移す自己同型写像には恒等写像しかありません．

例１（二次拡大体）

最初に，の二次拡大体の例として $Q(\sqrt{2})$ のガロア群 $\cal G \it (\sqrt{2})$ を考えます． $Q(\sqrt{2})$ の元が全て $a+b\sqrt{2}$ の形に書けるのはもう大丈夫だと思います．

まず，明らかに恒等写像は自己同型写像で， $\cal G \it (\sqrt{2})$ の元です．

$I: \ a + b\sqrt{2} \ \longmapsto \ a+b\sqrt{2}$

これは自明な元です．実は，もう一つそれほど明らかではない自己同型写像に， $a+b\sqrt{2}$ を $a-b\sqrt{2}$ に写す写像があります．

$J: \ a + b\sqrt{2} \ \longmapsto \ a-b\sqrt{2}$

この写像が確かに自己同型写像の定義を満たすことを確認してみましょう．式 (1)(2) にを代入してみます．

$J((a + b\sqrt{2})+(c + d\sqrt{2})) &=J((a +c) + (b+d)\sqrt{2}) \\&= (a +c) - (b+d)\sqrt{2} \\&= (a-b\sqrt{2})+(c-d\sqrt{2}) \\&= J(a+b\sqrt{2})+J(c+d\sqrt{2})$

$J((a + b\sqrt{2})\cdot (c + d\sqrt{2})) &=J((ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}) \\&= (ac+2bd) - (ad+bc)\sqrt{2} \\&= (a-b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2}) \\&= J(a+b\sqrt{2})J(c+d\sqrt{2})$

確かにも自己同型写像の定義 (1)(2) を満たすことが分かりました． $J^{2}=I$ ですから，この自己同型写像群はとだけで閉じた位数の群を作れます．

また，もも $a+b\sqrt{2}$ の形の元の有理数部分，つまりこの例のを不変に保ちますから，ガロア群 $\cal G \it (Q(\sqrt{2})/Q)=\{ I, J\}$ が分かります．

[*]	のちほど，ガロア理論の応用として，定規とコンパスで作図可能な図形の問題や，代数方程式の可解性も問題を考えますが，そうした場合に二次拡大が非常に大事です．

例２

もう一つ，の拡大体 $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ を考えてみましょう． $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の元は，全て $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$ の形で表わすことができます．

二つの $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の元の積を考えて，恒等写像以外の自己同型写像の可能性を考えてみましょう．計算はけっこう大変です．

$(a_{1}+b_{1}\sqrt{2}+c_{1}\sqrt{3}+d_{1}\sqrt{6})(a_{2}+b_{2}\sqrt{2}+c_{2}\sqrt{3}+d_{2}\sqrt{6})&= (a_{1}a_{2}+2b_{1}b_{2}+3c_{1}c_{2}+6d_{1}d_{2}) \\& \ \ +(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+3c_{1}d_{2}+3d_{1}c_{2})\sqrt{2} \\ & \ \ +(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}+2b_{1}d_{2}+2d_{1}b_{2})\sqrt{3} \\ & \ \ +(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\sqrt{6}$

じっと両辺を見ていると，まず左辺のとの符号をからに変える写像が，右辺でも二行目と四行目（つまりとに相当）の符号だけを変えることが分かります．

$K: \ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} \ \longmapsto \ a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}-d\sqrt{6}$

よって，は式 (2) を満たしています．が式 (1) を満たすのは明らかですから，は $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の自己同型写像になっています．同様に，との符号だけを変える写像，との符号だけを変える写像も自己同型写像になります．

有理数の部分を不変に保つ自己同型写像（つまりを固定体とする $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の自己同型写像）はこの四つだけですが，この四つの自己同型写像は確かに群をなします．群表は次のようになります．

	I	K	L	M
I	I	K	L	M
K	K	I	M	L
L	L	M	I	K
M	M	L	K	I

これより，ガロア群 $\cal G \it (Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/Q)=\{ I, K,L,M\}$ が分かります．この群が，クラインの四元群と同型であることを，群表を比較して確認してください．ここで行った計算はやや面倒でしたが，自己同型写像を具体的に決めるには，定義式 (1)(2) を満たすように地道に探すしかありません．

[†]	具体的に自己同型写像を探すしかないと書きましたが，たいていは例題のように， $\pm$ の符号を入れ替える写像を考えれば良いです．複素共役を取る操作に似てますね．

補足

例２に出てきた I,M の二つは， $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ の元で $a+b\sqrt{2}$ の部分の符号を変えませんので， $\cal G \it (Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/Q(\sqrt{2}))=\{ I,M\}$ が言えます．このガロア群は，明らかに例１で見た $\cal G \it (Q(\sqrt{2})/Q)=\{ I, J\}$ に同型です．

これは少し考えてみればもっともなことです．ガロア群は，二つの体の間にある，拡大の関係だけで決まってくる群ですので，に $\sqrt{2}$ を添加した体と， $Q(\sqrt{3})$ に $\sqrt{2}$ を添加した体とで，ガロア群 $\cal G \it (Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/Q(\sqrt{2}))$ と $\cal G \it (Q(\sqrt{2})/Q)$ が同型になっていることに不思議はありません．このような関係を，よく次のような図で書く人もいます．図中，下のから上の $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ に到るのに，添加する元と中間体を示しているわけです．

矢印の横には，ガロア群の元や位数など，追加情報を書き込みましょう．物理のかぎしっぽでは，このような図はあまり使わないと思いますが，演習問題を解く際に自分で考えるのには，きっと役に立つと思います．ここまでに体の自己同型写像で『ガロア拡大の拡大次数は，ガロア群の位数に等しい』という定理を導きましたが，例１と例２をもう一度振り返って，この関係を確認してみてください．

例３

有理数体の拡大体 $Q(\root 4\of {2} , i)$ を考えてみます． $Q(\root 4\of {2}), i)$ は， $x^{4}-1$ の解 $\pm \root 4\of {2} , \pm i\root 4\of {2}$ をに添加して得られる体で，上 $x^{4}-1$ は既約ですから， $Q(\root 4\of {2} , i)$ は $x^{4}-1$ の最小分解体になっています．

まずガロア群 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2}) , i/Q)$ を求めてみましょう． $Q(\root 4\of {2}, i)$ の元は一般に $a_{1}+a_{2}\root 4\of {2}+a_{3}\root 4\of {2^{2}}+a_{4}\root 4\of {2^{3}}+a_{5}i+a_{6}i\root 4\of {2}+a_{7}i\root 4\of {2^{2}}+a_{8}i\root 4\of {2^{3}}$ の形をしています．

例題１，２と同じように考えますが，を基底とする項をに変える写像は自己同型写像と言えます．同様に， $\root 4\of {2^{2}}$ を $-\root 4\of {2^{2}}, i\root 4\of {2^{2}},-i\root 4\of {2^{2}}$ に変える写像も自己同型写像です．

[‡]	は二乗すると有理数， $\root 4\of {2}$ は四乗すると有理数になり，それぞれ種と種の項で巡回的なループを作っています．そこで恒等写像も含めての項に種， $\root 4\of {2}$ の項に種の自己同型写像が考えられるわけです．次表に示すように， $2 \times 4=8$ で計種になります．例題１，２よりも複雑ですね！

これらの写像の組合わせは次表のようになります． $e,\sigma , \tau$ は適当につけた名前です．

自己同型写像	$\phi(\root 4\of {2})$	$\phi(i)$
${\phi}_{1}=e$	$\root 4\of {2}$
${\phi}_{2}=\sigma$	$i\root 4\of {2}$
${\phi}_{3}={\sigma}^{2}$	$-\root 4\of {2}$
${\phi}_{4}={\sigma}^{3}$	$-i\root 4\of {2}$
${\phi}_{5}=\tau$	$\root 4\of {2}$
${\phi}_{6}=\sigma \tau$	$i\root 4\of {2}$
${\phi}_{7}={\sigma}^{2}\tau$	$-\root 4\of {2}$
${\phi}_{8}={\sigma}^{3}\tau$	$-i\root 4\of {2}$

ガロア群 $\cal G \it (Q(\root 4\of {2} , i)/Q)=\{ e,\sigma ,{\sigma}^{2},{\sigma}^{3},\tau , \sigma \tau , {\sigma}^{2}\tau , {\sigma}^{3}\tau \}$ が得られました． $\cal G \it (Q(\root 4\of {2}) , i)/Q)$ の位数と $Q(\root 4\of {2})$ の拡大次数がどちらもである点を確認してください．

さて， $\cal G \it (Q(\root 4\of {2} , i)/Q)$ の元で， $\sigma \tau$ は $(\sigma \tau )^2=e$ となりますので（確かめてください）， $\{ e,\sigma \tau \}$ だけで位数の部分群が作れます．また， $\{ e,\sigma \tau \}$ の固定体は，次のように実際に計算してみれば分かります． $Q(\root 4\of {2})$ の元を $\xi = a_{1}+a_{2}\root 4\of {2}+a_{3}\root 4\of {2^{2}}+a_{4}\root 4\of {2^{3}}+a_{5}i+a_{6}i\root 4\of {2}+a_{7}i\root 4\of {2^{2}}+a_{8}i\root 4\of {2^{3}}$ として， $\sigma \tau$ を作用させてみましょう．

$\sigma \tau (\xi) = a_{1}+a_{2}i\root 4\of {2}-a_{3}\root 4\of {2^{2}}-ia_{4}\root 4\of {2^{3}}-a_{5}i+a_{6}\root 4\of {2}+a_{7}i\root 4\of {2^{2}}-a_{8}\root 4\of {2^{3}}$

係数を見比べて， $\sigma \tau (\xi) = \xi$ を満たすために $a_{2}=a_{6}, a_{3}=-a_{3}=0,a_{4}=-a_{8},a_{5}=-a_{5}=0$ が要請されます． $a_{1},a_{6},a_{7}$ はこの変換によって不動です．これによって， $\{ e,\sigma \tau \}$ の固定体の元は次のような形であることが分かります．

$b_{1}+b_{2}(1+i)\root 4\of {2}+a_{4}(1-i)\root 4\of {2^{3}}+a_{7}i\root 4\of {2^{2}}$

すこし技巧的ですが，これを次のように書き換えることも出来ます．

$b_{1}+b_{2}(1+i)\root 4\of {2}+\frac{1}{2}a_{7}(1+i)^{2}\root 4\of {2^{2}} +\frac{1}{2}a_{4}(1+i)^{3}\root 4\of {2^{3}}$

これより， $\{ e,\sigma \tau \}$ の固定体は $Q((1+i)\root 4\of {2})$ だと分かりました．

[§]	ちなみに， $\{ e,\sigma \tau \}$ は $\cal G \it (Q(\root 4\of {2}) , i)/Q)$ の正規部分群ではないため， $Q((1+i)\root 4\of {2})$ はのガロア拡大ではありません．

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