中心化群の定義には,ここまでに勉強してきた,共役,共役類,軌道,中心,固定部分群といった概念が全て必要になります.何となく曖昧な部分がある人は,先に復習しておきましょう.
群 のある元
を考えます.
に対し,
を満たす
の元を全て集めた集合は群になり,これを
の中心化群
と呼びます.
『中心化群とは,群のある元に対し, 群自身への共役作用を考えるときの固定部分群である 』と言い換えることもできるでしょう.( 共役類 , 群が集合の上で働くということ , 固定部分群 を参照して下さい.)
中心化群に関しては,次の定理が重要です.
theorem
群 の元
に対し,
を
の中心化群,
を
の共役類(軌道)とすると,位数に関して
がなりたちます.
群の位数 は定数ですから,
の中心化群が大きければ,
の共役類は小さくなり,逆に
の中心化群が小さいと,
の共役類が大きくなるということです.中心化群は固定部分群の特殊な場合ですから, 固定部分群 に出てきた式
などと比較して,もう一度頭を整理しましょう.
上の定義では,ある一つの元 に対し,
に共役な元を全て集めたものを「元
の中心化群」としました.同様に,この定義を拡張し,群
のある部分集合
に対し,
に属する全ての元と共役な
の元を全て集めた集合を「部分集合
の中心化群」と定義できます.
三次の対称群 で,例えば
の中心化群を求めてみましょう.
求めたいのは, を満たす全ての
です.順番に全部試してみても,計算はすぐに済みますが,結果としては,
の二つが求まります.よって,
の
に関する中心化群は
と決まります.確かに
だけで群になっていますね.
点 を中心とする回転全てからなる群を考えます.このとき,
軸を中心としたある回転
(静止と
度回転を除く)に関する中心化群はどのような回転の集まりになるでしょうか.
一般に,異なる軸に関する回転操作は非可換でしたので, を満たすような元
もやはり
軸回りの回転であると考えられます.逆に,
が
軸回りの回転を表わす元ならば,
を満たします.
の中心化群は,
軸回りの回転全て(静止と
度回転も含む)からなるものです.
すぐに重要な訳ではありませんが, 群の中心 の記事で軽く紹介した 群には,興味深い定理がなりたつので,証明とともに紹介しておきます.証明の途中で中心化群を利用します.
theorem
位数が素数の平方である有限群は,可換群になります.
proof
中心 は群
の部分群ですから,中心の位数は,群の位数
の約数になっているはずです. 群の中心 の「群の位数と中心」のセクションで紹介した定理により,中心
には二つ以上の元がありますから,中心の位数として可能なのは
か
だけです.
のときは,中心は群
そのものということであり,これは群の全ての元が演算に関して交換可能,すなわち可換群であるという主張です.一方,中心の位数が
のときは,
に含まれない
の元を一つ(仮に
とします)取ると,
の中心化群は
を含み,かつ
の累乗をも含みますので,この中心化群の位数はは中心の位数
よりも大きくなるはずです.すると中心化群の位数は
ということになりますが,この場合,中心化群が群
そのものとなり,
が中心
に含まれてしまうことになりますので,これは矛盾です.よって中心の位数が
ということはありえず,p群の中心は常に群そのものと一致し,可換群になりことが分かりました.■