熱エネルギーとボーズ粒子数

講義ノートを見ていて簡潔な表現に感動しました． 短い記事です．

角振動数 \omega （一粒子あたりエネルギー \hbar \omega ）のフォノン数を N ,体積を V とした時，おそらくフォノン濃度というものは \langle n \rangle=\dfrac{N}{V} で表されます．
（もしかしたら違うかもしれません．ノートにはただ「フォノン濃度」とだけあります．）

フォノンというものはボーズ粒子ですので，ボーズ・アインシュタイン分布に従います． つまり，温度 T として，

\langle n \rangle = \dfrac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}}-1} \tag{1}

が成立します．ここで，ある程度高温 k_B T >> \hbar \omega を満たす時には，

\langle n \rangle = \dfrac{k_B T}{\hbar \omega} \tag{2}

となります．これはつまり，十分に熱が高い時，熱はエネルギー k_B T をフォノンに与える， と読むことができます．「熱の特徴的なエネルギー」 k_B T にいくつフォノンエネルギー \hbar \omega が入るかを表しているわけです．さらに言えば，フォノン数は温度 T に比例することは覚えておいて損はありません． また，この議論はボーズ分布がさまざまなボーズ粒子に共通の性質のため，例えばフォトンにも適用できそうです．

勉強になりました．先生，ありがとうございました．それでは，今日はこの辺で． お疲れ様でした．