ブラケット法のx表示とは

簡潔にブラケット法でのx表示について書きます．

波動関数のケット | \psi \rangle に対して， \langle x^\prime | を 左から掛けると，

\langle x^\prime | \psi \rangle = \psi(x^\prime) \tag{1}

になるのです．色々理解しようとしたのですが，なかなか難しかったです．

演算子xとは

基本に戻りましょう．演算子 \hat{x} の固有値方程式

\hat{x} | x \rangle = x | x \rangle \tag{2}

がケット | x \rangle の定義です．理解としては，どうやらこれらに関しては， イメージを日本語で表すべきもののようだ．という結論です．

その | x \rangle のイメージとは，位置 x に局在する関数で規格化されている波動関数である． というものです．そして \langle A | B \rangle は波動関数 | B \rangle の中に， \langle A | の成分は どの位入っているだろうか？ということを思い出すと，

\langle x^\prime | x \rangle = \delta(x^\prime - x) \tag{3}

は納得いく式ではないでしょうか．位置 x に局在する波動関数には，位置 x^\prime に局在する 成分はどの位入っているだろうか？ということです． x^\prime = x の時には無限に多く含まれているということ であり， x^\prime \neq x の時は全く入っていないということです．

波動関数ψ

同様に \langle x^\prime | \psi \rangle も考えると， 波動関数 \psi には，どれだけ位置 x^\prime の成分が入っているだろうか？ということです． だから， x = x^\prime の時の値 \psi(x^\prime) になるわけです．

今日はここまで，お疲れさまでした！