フェルミオンの遅延グリーン関数の満たす式

少しあいまいな点もあり，自信がありませんが，「物性論で遅延グリーン関数を扱うけど なんでグリーン関数と言えるのか？」という疑問に答えたいと思います．

フェルミオンの遅延グリーン関数 G_{ret} とは，greaterグリーン関数 G^{>} ， lesserグリーン関数 G^{<} そしてシータ関数（階段関数とも） \Theta を用いて，

G_{ret}(x_1,x_2) = \Theta(t_1-t_2)(G^{>}-G^{<}) \tag{1}

と表されます．ここで，greater,lesser関数は，それぞれ，場の演算子 \psi(x) を用いて，

G^{>}(x_1,x_2) = -i\langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) \rangle \tag{2} G^{<}(x_1,x_2) = i\langle \psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle \tag{3}

となります．よって，

G_{ret}(x_1,x_2) = -i \Theta(t_1-t_2)\langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) + \psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle \tag{4}

となります．場の演算子の時間発展は， \psi(t,x) = e^{-i \omega t} \psi(0,x) のように変化するので，結局式 (4) は，

G_{ret}(x_1,x_2) = -i \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \langle \psi(0,x_1) \psi^\dagger(0,x_2) + \psi^\dagger(0,x_2) \psi(0,x_1) \rangle \tag{5}

これで，時間依存性があらわになりました． では，時間微分を計算してみましょう． 交換関係は \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) +\psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) = \delta(x_1-x_2) ですから， 括弧式の平均を取ると，自信はありませんが，どうやら \langle \psi(x_1) \psi^\dagger(x_2) +\psi^\dagger(x_2) \psi(x_1) \rangle = 1 になるようです．(もしかしたら \hbar の何乗かが掛かったりするかもしれません． )

G_{ret}(x_1,x_2) = - i \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \tag{6} \partial_t G_{ret}(x_1,x_2) &= - i \delta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \\&- \omega \Theta(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1 - t_2)} \\&= -i \delta(t_1 - t_2) -i \omega G_{ret} \tag{7}

なお， t_1-t_2=0 でのみ値を持つδ関数を含む項に対しては， t_1 = t_2 と置きました． これは，少し変形してやれば，シュレーディンガー方程式に対するグリーン関数になっているようです．つまり，

(i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t_1} - \hbar \omega) G_{ret}(x_1,x_2) &= \hbar \delta(t_1 - t_2) \tag{8}

なんというか，右辺の \hbar が気になりますが， これなら，確かにグリーン関数とは呼べなくもないですね．

それでは，今日はこの辺で．お疲れさまでした．