特別な性質を持つ演算子

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量子力学に出てくる演算子の中には，特別な性質を持ったものがいくつかあります．その性質と名称を一緒に覚えましょう．

共役演算子とは

$(\phi, X\psi)=(Y\phi, \psi)$

を満たす演算子のことを，演算子の共役演算子といいます．このとき，

$Y=X^{\dagger}$

と書きます．

エルミート演算子とは

$X^{\dagger}=X$

つまり，

$(\phi, X\psi)=(X\phi, \psi)$

を満たす演算子のことを，エルミート演算子といいます．

エルミート演算子の固有値

エルミート演算子に対して，

Xu_n=nu_n

という固有値方程式を考えます（固有関数が u_n で固有値が）．この式で， u_n との内積を取ると，

$n(u_n, u_n)=(u_n, nu_n)=(u_n, Xu_n)=(X^{\dagger}u_n, u_n)=(Xu_n, u_n)=(nu_n, u_n)=n^{*}(u_n, u_n)$

となります．これから，「エルミート演算子の固有値は実数（ $n^{*}=n$ ）である」ことが分かります．

エルミート演算子の異なる固有値に対する固有関数

エルミート演算子に対して，

Xu_n=nu_n

という固有値方程式を考えます（固有関数が u_n で固有値が）．この式で，

$Xu_m=mu_m(n\neq m)$

を満たす u_m との内積を取ると，

$n(u_m, u_n)=(u_m, nu_n)=(u_m, Xu_n)=(X^{\dagger}u_m, u_n)=(Xu_m, u_n)=(mu_m, u_n)=m(u_m, u_n)$

より，

(n-m)(u_m, u_n)=0

となります．ここで， $n\neq m$ から，

(u_m, u_n)=0

が得られ，「エルミート演算子の異なる固有値に対する固有関数は直交する」ことが分かります．

ユニタリー演算子とは

単位行列をとしたとき，

$X^{\dagger}X=XX^{\dagger}=E$

を満たす演算子のことを，ユニタリー演算子といいます．

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