場のラグランジアンの使い方

この記事では，中性スカラー場のラグランジアンから， オイラー・ラグランジュ方程式を使って，運動方程式を導きます． その計算過程を詳しく示すのが目的です．

ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式

ここではラグランジアン \mathcal{L} を次の様に定めます．

\mathcal{L} = \dfrac{1}{2}\partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi - \dfrac{1}{2} \mu^2 \phi^2 - \dfrac{1}{4!} \lambda \phi^4 \tag{1}

これをオイラー・ラグランジュ方程式に代入します．それは次で示します．

\dfrac{\delta S}{\delta \phi} = \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu} \phi) } \right) = 0 \tag{2}

計算の実行

さて，まず中辺第一項を求めます．これはまあそんなに難しくないです．

\delta S_1 &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi \\&= \left(- \dfrac{1}{2} \mu^2 (\phi+\delta \phi)^2 - \dfrac{1}{4!} \lambda (\phi+\delta \phi)^4 \right) - \left( - \dfrac{1}{2} \mu^2 \phi^2 - \dfrac{1}{4!} \lambda \phi^4 \right) \\&= - \left\{ \dfrac{1}{2} \mu^2 \left( (\phi^2+ 2 \phi \delta \phi) - \phi^2 + o(\delta \phi^2) \right) \right\} - \left\{ \dfrac{1}{4!} \lambda \left( (\phi^4+ 4 \phi^3 \delta \phi) - \phi^4 + o(\delta \phi^2) \right) \right\} \\&= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{4!} 4 \lambda \phi^3 \delta \phi \\&= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 \delta \phi \tag{3}

ですね．

だから，

\dfrac{\delta S_1}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 \tag{4}

となります．ここでは微小量 \delta \phi を用いましたが，これは要は \dfrac{\partial}{\partial \phi} を作用させる事と同等です．次では \delta (\partial_\mu \phi) を使うのが本来でしょうが，非常に見づらいので \dfrac{\partial}{\partial (\partial \phi)} で計算することにします．さて，次が僕が戸惑ってしまった計算です．

\dfrac{\delta S_2}{\delta \phi} &= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu} \phi) } \right) \\&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\partial_{\nu} \phi)} \dfrac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi \right) \\&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\partial_{\nu} \phi)} \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \phi \partial_{\rho} \phi \right) \\&= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \delta_{\mu}^{\nu} \partial_{\rho} \phi + \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \phi \delta_{\rho}^{\nu} \right) \\&= - \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \partial_{\rho} \phi - \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\rho} \partial_{\mu} \phi \\&= - \dfrac{1}{2} \partial^{\rho} \partial_{\rho} \phi - \dfrac{1}{2} \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi \\&= - \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi \\&= - \Box \phi \tag{5}

よって，

式 (2) は，

\dfrac{\delta (S_1+S_2)}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 - \Box \phi = 0 \\\left( \Box + \mu^2 \right) \phi &= - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 \tag{6}

と書けるわけです．今日はここまで，お疲れさまでした！