演算子の性質と交換関係

量子力学にはなくてはならないものの1つが演算子です．その演算子について学びます．演算子とは，関数に作用させて演算を行うもので，量子力学では，さまざまな物理量が演算子で表されます．いきなり演算子と言われても，ぴんとこないと思いますが，例えば，位置を表すや，運動量を表すも演算子として扱うことになります．

演算子と数との違い

ある数 a, b がある時，

が成り立ちます．つまり，2つの数の積は交換します．しかし，ある演算子 A, B がある時，一般には

$AB\neq BA$

であり，2つの演算子の積は交換しません．

演算子の交換関係とは

そこで，演算子 A, B に対して，

という量を定義します．これを演算子 A, B の交換関係といいます．

$[A, B]\neq 0$

ならば，「演算子 A, B は交換しない」といい，

ならば，「演算子 A, B は交換する」といいます．

例

冒頭で紹介した，とについて，交換関係を計算してみます．量子力学では，（1次元の場合） $p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ とします．ここでは，分かりやすいように，この交換関係が後ろの $\phi(x)$ という関数に作用するとしてみましょう．さらに，やが演算子であることを強調するために， $\hat{x}, \hat{p}$ と書くことにします．

$[\hat{x}, \hat{p}]\phi(x)&=\left[\hat{x}, -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\right]\phi(x)=-i\hbar\left[\hat{x}, \frac{\partial}{\partial x}\right]\phi(x)\\&=-i\hbar\left(\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}\right)\phi(x)=-i\hbar\left(x\frac{\partial \phi(x)}{\partial x}-\phi(x)-x\frac{\partial \phi(x)}{\partial x}\right)=i\hbar\phi(x)$

となって，

$[\hat{x}, \hat{p}]\phi(x)=i\hbar\phi(x)$

つまり，

$[\hat{x}, \hat{p}]=i\hbar$

と求まります． $\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}$ をすぐにとしてしまいがちですが， $\frac{\partial}{\partial x}$ は後ろの $\phi(x)$ にもかかっていますので，上記のような計算結果となります．

問

演算子 A, B, C があるとき，交換関係について，以下の式が成り立つことを示しなさい．

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