なぜ子供は転びやすいのか

剛体の力学シリーズ番外編１です． 小さい子がよく転ぶのをみて考えてみました． 大人になるとつまづいても転びにくくなりますよね． それはなぜかに答えます． 必要知識は， 慣性モーメント あたりまでの知識をもっていることが望ましいです．

転ぶ人を倒れる棒として考える

題のとおりです． 転ぶ人を倒れる棒として考えます． 長さが違う棒を倒すとき， 長いほど遅く倒れるのだろうと予想しました． 実際に確かめてみましょう．

モデルは，一方を自由に回転できように固定した， 密度が一様な質量 m ，長さ l 棒とします． 固定されているのは，摩擦力のせいです． 棒の慣性モーメントを I ，地面の法線と棒のなす角を \theta とします．

回転運動の方程式は，

\frac{dL}{dt}=N

つまり，もっと詳しく書くと L=I \dot{\theta}(=I \omega) （上のドットは時間微分）ですから，

I \ddot{\theta} =N \tag{1}

となる訳です．

まず， I を計算します． \rho=\frac{m}{l} を棒の密度とすれば，

I &= \int_0^l \rho r^2 dr \\&= [ \frac{\rho r^3}{3} ]_0^l \\&=\frac{\rho l^3}{3} \\&= \frac{ml^2}{3} \tag{2}

ですね．

そして，剛体に働くトルクの合計 N を求めます． 棒の固定端から， r の距離にある微小質量 \rho dr にかかる重力による微小トルク dN= r (\rho dr)g \sin \theta を積分します．

N &= \int dN \\&= \int_0^l r (\rho dr) g \sin \theta \\&= [\frac{\rho g r^2 \sin \theta}{2}]_0^l \\&= \frac{mgl \sin \theta}{2} \tag{3}

では，準備ができたので，式 ( 2 ) と式 ( 3 ) を式 ( 1 ) に代入して整理してみましょう．

\frac{ml^2}{3} \ddot{\theta} = \frac{mgl}{2} \sin \theta
\ddot{\theta} = \frac{3g}{2l} \sin \theta \tag{4}

式 ( 4 ) を見ると，見事に回転の加速の速さは， 質量に関係せず，短いほど速いことがわかります．

または言い方を変えると， 棒の端点の動く速度の速度増加率は，両辺に l をかければ出てきて， 棒の長さによらないことが分ります．速度は同じであって， 一方，端点の描く軌跡は，棒が長いほど長いですから， 倒れるまでの時間は，長くなるわけです．

よって，体重には関係なく背が高いほど転び方がゆっくりになるので， 大人はつまずいても姿勢を戻せるわけですね．

前に，ティラノサウルスは転んだらその衝撃で，死んでしまうのではないかという仮説が 聞きましたが，それだけ大きければそうとう転ぶまでに時間がかかるので， 転びにくかったのではないでしょうか．

以上，小ネタでした．