球殻のつくる重力ポテンシャル

球殻や球体のつくる重力ポテンシャルを求めます．

球殻の作るポテンシャル

半径，密度 $\rho$ の球対称な厚さの薄い球殻を考えます．球殻の中心(かつこれを原点とします)を，位置にある微小な質量 d m によって，ある離れた位置にできるポテンシャル $d \psi$ を求めます．下図のように， OP=R ， OQ=r ， $PQ=R^\prime$ とし， $\angle POQ = \theta$ と置きます．

球対称な場合なので，極座標を用います．位置にある微小な質量 $\d m$ は，

$dm= \rho \ dr \ rd\theta \ r \sin \theta \ d \phi$

なので，位置にできるポテンシャルは，

$d \psi = -G \frac{dm}{R^\prime} = -G \frac{\rho \ dr \ rd\theta \ r \sin \theta \ d \phi}{R^\prime} \tag{1}$

一方余弦定理より，

${R^\prime}^2 = r^2 + R^2 -2rR \cos \theta$

両辺を微分して

$R^\prime d R^\prime = rR \sin \theta d \theta \tag{2}$

で式 (1) から $\theta$ を消去すれば，

$d \psi = -G \frac{\rho r \ dr \ d \phi \ d R^\prime}{R}$

となります．

Pが球殻の外部にある時

ポテンシャルを積分するわけですが，球殻の作る積分なので方向の積分をしないことに注意してください． $\theta$ が $0 \to \pi$ と変化する時， $R^\prime$ は $R-r \to R+r$ と変化するから，

$\int d \psi &=\int^{\pi}_0 d \theta \int^{2\pi}_0 d \phi (-G \frac{\rho r^2 \sin \theta \ dr}{R^\prime}) \\&= -2\pi \int^{R+r}_{R-r} d R^\prime \ G \frac{\rho r \ dr}{R} \\&=-G \ 2r \ \frac{2\pi r \rho \ dr}{R} \\&=-G \frac{4\pi r^2 \rho \ dr}{R} \\&=-G\frac{d M}{R}$

二つ目の等号は，式 (2) を用いました．よって，球の外部では球殻と同じ微小質量が球の中心にある時できるポテンシャルと同じように振舞います．

で積分してやれば半径の球体がつくるポテンシャルになります．

$\psi = -\int_{r=0}^{r=a} G\frac{4\pi r^2 \rho \ dr}{R} = -\frac{GM}{R}$

$M = \frac{4 \pi a^3 \rho}{3}$ としました．よって，ここに質点をおいた時，質点が受ける力は，

$F = -m\frac{d \psi}{dR}= - \frac{GmM}{R^2}$

となります．

Pが球殻の内部にある時

$\theta$ が $0 \to \pi$ と変化する時， $R^\prime$ は $r-R \to r+R$ と変化するから，

$\int d \psi &=\int^{\pi}_0 d \theta \int^{2\pi}_0 d \phi (-G \frac{\rho r^2 \sin \theta \ dr}{R^\prime}) \\&=-2\pi \int^{r+R}_{r-R} d R^\prime \ G \frac{\rho r\ dr}{R} \\&=-G \ 2R \ \frac{2\pi r \rho}{R} \\&=-G \frac{4\pi r^2 \rho}{r} \\&=-G\frac{d M}{r}$

ここでもやはり二つ目の等号は，式 (2) を用いました．よって作られるポテンシャルは，によらず一定になります．で積分してやれば半径の球体がつくるポテンシャルになります．

$\psi &= -\int_{r=0}^{r=R} G\frac{4 \pi \rho r^2 }{R}dr - \int_{r=R}^{r=a} G\frac{4 \pi \rho r^2 }{r} dr \\&= [ -G\frac{ 4 \pi r^3 \rho}{3R} ]^R_0 - [ -G \frac{4 \pi r^2 \rho}{2}]^a_R \\&= -G\frac{ 4 \pi R^2 \rho}{3} + \frac{3}{2} \ G\frac{ 4 \pi R^2 \rho}{3} - \frac{3}{2} \ G\frac{4 \pi a^2 \rho}{3} \\&= \frac{1}{2} \ G\frac{ 4 \pi R^2 \rho}{3} - \frac{3}{2} \ G\frac{ 4 \pi a^2 \rho}{3} \\&= \frac{1}{2} \ \frac{G M R^2 }{a^3} - \frac{3}{2} \ \frac{G M}{a}$

一行目の右辺，第一項は半径よりも内側の部分が作るポテンシャルで，無限遠でゼロになっています．同じく第二項は，半径よりも，外側の部分が作るポテンシャルの影響で，球殻の外側に対する内側のポテンシャルを表していて，その外側のポテンシャルをゼロとしています．結果，無限遠点をポテンシャルの基準点としゼロとしたポテンシャルが計算されています．

注意していただきたいのは，球殻の内側のポテンシャルはによりませんが，球殻が外側にポテンシャルをつくるように，ちゃんと内側にも影響を与えていて，球殻内部はポテンシャルが低くなっているということです．

ここに質点をおいた時，質点が受ける力は，

$F =-m\frac{d \psi}{dR}= -\frac{GmMR}{a^3}$

です．

このポテンシャルは今回は重力と言いましたが，逆二乗則に従う力なら符号の違いはあれど，同じポテンシャルを作ります．つまり，電荷の作るポテンシャルも同じ形をしています．

最後に受ける力，ポテンシャルをまとめたグラフを載せて終わります．

$\psi =\begin{cases}\frac{1}{2} \ \frac{G M R^2 }{a^3} - \frac{3}{2} \ \frac{G M}{a} & \ (0<R<a) \\-\frac{GM}{R} & \ (a<R)\end{cases}$

$F =\begin{cases}-\frac{GmMR}{a^3} & \ (0<R<a) \\ - \frac{GmM}{R^2} & \ (a<R)\end{cases}$

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