オイラー方程式

剛体の回転シーリズ第７弾です．前の記事は 加速度座標系と慣性力 です． 次の記事は テニスラケットの定理 です．

オイラー方程式

オイラー方程式を導きます．オイラー方程式というのは， 回転する座標系からみた，回転の変化を調べる方程式です． 角速度 \bm{\omega} で回転する座標から見た角運動量は ベクトルですので， 加速度座標系と慣性力 で 導いた式 (1) を適用できます．

つまり，任意のベクトル \bm{A} に成り立つ式

\frac{d \bm{A}}{dt}=\frac{\delta \bm{A}}{\delta t}+ \bm{\omega} \times \bm{A} \tag{1}

で， [*] \bm{A} に角運動量ベクトル \bm{L} を代入してやって，

[*]\frac{\delta \bm{A}}{\delta t} とは，回転座標系からみた見かけの変化ベクトルでした．
\frac{d \bm{L} }{dt} = \frac{\delta \bm{L}}{\delta t} + \bm{\omega} \times \bm{L} \tag{2}

ここで， 慣性モーメント で書いた 慣性主軸を座標系として採用すると，

\bm{L} &= I_I \bm{\omega} \\ &= \begin{pmatrix}I_1 & 0 & 0 \\0 & I_2 & 0 \\0 & 0 & I_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_1 \\\omega_2 \\\omega_3\end{pmatrix}\tag{3}

よって，

\begin{pmatrix}L_1 \\L_2 \\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_1 \omega_1 \\I_2 \omega_2 \\I_3 \omega_3\end{pmatrix} \tag{4}

ここで， 角運動量 の式 (3) を思い出しますと ，

\bm{N} &= \frac{d \bm{L}}{dt} \\&=\frac{\delta \bm{L}}{\delta t} + \bm{\omega} \times \bm{L} \\&=\begin{pmatrix}I_1 \frac{\delta \omega_1}{\delta t} \\I_2 \frac{\delta \omega_2}{\delta t} \\I_3 \frac{\delta \omega_3}{\delta t}\end{pmatrix}+\bm{\omega} \times \bm{I_I \bm{\omega}} \\&=\begin{pmatrix}I_1 \dot{\omega}_1 \\I_2 \dot{\omega}_2 \\I_3 \dot{\omega}_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\omega_2 I_3 \omega_3 - \omega_3 I_2 \omega_2 \\\omega_3 I_1 \omega_1 - \omega_1 I_3 \omega_3 \\\omega_1 I_2 \omega_2 - \omega_2 I_1 \omega_1\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_3 \omega_2 \\I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_1 \omega_3 \\I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_2 \omega_1\end{pmatrix} \tag{5}

となります [†] ．

[†]ここで， 加速度座標系と慣性力 の式 (4) の次にくる式， \frac{d \bm{\omega}}{dt}=\frac{\delta \bm{\omega}}{\delta t}=\dot{\bm{\omega}} を用いました．

長くなったのでこの式をもう一度書きなおすと，

\begin{pmatrix}N_1 \\N_2 \\N_3\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_3 \omega_2 \\I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_1 \omega_3 \\I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_2 \omega_1\end{pmatrix} \tag{6}

となります．この式 (6) をオイラー方程式と呼びます． 次回は，このオイラー方程式を用いて， テニス・ラケットの定理と言うものを導きます．

ちなみに慣性主軸以外の静止座標系（上の議論と区別する ため ^\ast をつける．）から見た回転の方程式は，

\begin{pmatrix}N_1 \\N_2 \\N_3 \end{pmatrix}&= \frac{d \bm{L}}{dt} \\&= \frac{d}{dt}\begin{pmatrix}I_{11} & I_{12} & I_{13} \\I_{21} & I_{22} & I_{23} \\I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_1^\ast \\\omega_2^\ast \\\omega_3^\ast\end{pmatrix} \tag{7}

となりますが，慣性モーメント I が時間変化するため， 複雑になってしまいます．

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