力学的エネルギー保存則の導出

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力学的エネルギー保存則を運動方程式から導いてみましょう．

という手順で導きます．

運動方程式を立てる

まず，つぎのような運動方程式を考えます．

これは重力とばねの力 -kx が働いている物体（質量は）の運動方程式です．

つぎに，運動方程式の両辺に速度の成分を掛けます．

$mav = -kxv + mgv \tag{1}$

なぜそんなことをするかというと，こうすると都合がいいからです．どう都合がいいのかはもう少し後で分かります．

式(1)は

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2+mgx\right) \tag{2}$

と微分の形で表すことができます．左辺は運動エネルギー，右辺第一項はバネの位置エネルギー（の符号が逆になったもの），右辺第二項は重力の位置エネルギー（の符号が逆になったもの），のそれぞれ時間微分の形になっています．なぜこうなるのかを説明します．

加速度と速度はそれぞれ

$a = \frac{dv}{dt},\qquad v = \frac{dx}{dt}$

という関係にあります．加速度は速度の時間微分，速度は位置の時間微分です．この関係を使って計算すると式(2)の左辺は

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt} = mav \tag{3}$

となります．ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分公式を使っています．式(3)は式(1)の左辺と一緒ですね．運動方程式に速度をあらかじめ掛けておいたのは，このように運動方程式をエネルギーの微分で表すためです．同じように計算していくと式(2)の右辺の第1項は

$\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right) = -\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2) = -\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt} = -kxv$

となり，式(2)の右辺第1項と同じになります．第2項は

$\frac{d}{dt}\left(mgx\right) = mg\frac{dx}{dt} = mgv$

となり，式(1)の右辺第2項と同じになります．

なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが，式(1)と式(2)が同じものだということがわかりました．これが言いたかったんです．

式(2)の右辺を左辺に移項すると

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\right) = 0$

という形になります．この式は何を意味しているでしょうか．カッコの中身はそれぞれ運動エネルギー，バネの位置エネルギー，重力の位置エネルギーを表しているのでした．

それらを全部足して，時間微分したものがゼロになっています．ということは，エネルギーの合計は時間的に変化しないことになります．つまりエネルギーの合計は常に一定になるので，エネルギーが保存されるということがわかります．