ブックエンドはなぜ倒れないか

みなさんは，机の上に本を立てて並べたことはありませんか？ L字型のブックエンドを使わないとすぐ倒れてしまいますよね． 今回は，なぜブックエンドをつかうと本が倒れないかを考えてみます．

モデル化

chromel-bookEnd-01-t.png

ブックエンドの重心を図の様に (x,y)=(r \cos \theta,r \sin \theta) と置きます． 左側に倒れない為には， \theta が微小量 d \theta だけ増えた時， 重心の位置のポテンシャルエネルギー U に対し， \dfrac{dU}{d \theta}>0 であれば大丈夫です． ここで U = mg r \sin \theta ですから，

\frac{dU}{d \theta} = mgr \cos \theta > 0 \tag{1}
0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}

ならば，倒れないことになります．θの値がゼロに近ければ近いほど，つまり，ブックエンドの底面が長ければ長いほど， 倒れにくくなります．

逆にブックエンドを使わない時には， \theta \sim \dfrac{\pi}{2} かつ， \dfrac{d U}{d \theta} \sim 0 ですから， 倒れてしまうことになります．

通常の環境では，本の重心が持ち上がることはないので， 何がブックエンドの良さを決めるかというと， それは，机との摩擦の大きさです． つまり，ブックエンドは傾くことはないですが，滑って本が倒れることの方が起きやすいのです．

それでは，今日はこの辺で．お疲れ様でした．