三角関数の公式１

加法定理，２倍角の公式，３倍角の公式，半角の公式，積和の公式，和積の公式を掲載します．２倍角の公式以降は，全て加法定理から導けるものです．丸暗記してもすぐに忘れます．簡単な導き方は書いてありますが，一度，自分でしっかりと計算して導き方を覚えましょう．

平方関係

一番目の式は，公式というよりは定義そのものです．

\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
1+\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}
1+ \frac{1}{\tan^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}

２倍角の公式

加法定理で \alpha = \beta = \theta と置けば出てきます．

\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta
\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta -1 = 1- 2\sin^2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1- \tan^2 \theta}

ここで \tan {\theta}=t と置くと，次のようにも表せます．

\sin 2 \theta = \frac{2t}{1+t^2}
\cos 2 \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}
\tan 2 \theta = \frac{2t}{1-t^2}

３倍角の公式

加法定理で， \alpha = \theta , \beta = 2\theta と置き，２倍角の公式を再び使えば導けます．もしくは，オイラーの関係式 \exp ^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta の両辺を３乗して，実部と虚部に分ける方法も良いでしょう．

\sin 3 \theta = 3 \sin \theta -4 \sin^3 \theta
\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta -3 \cos \theta
\tan 3 \theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1- 3 \tan^2 \theta}

半角の公式

２倍角の公式から導けます．

\sin^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}
\cos^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{1+\cos \theta}{2}
\tan^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}

積和の公式

この公式は，加法定理で \sin(\alpha \pm \beta) , \cos(\alpha \pm \beta) を計算しておき，うまく足したり引いたりして導きます．

\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\Big( \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\Big)
\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\Big( \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\Big)
\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\Big( \cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\Big)
\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}\Big( \cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\Big)

和積の公式

積和の公式で \alpha = \frac{A+B}{2} , \beta = \frac{A-B}{2} と置けば導けます．

\sin A +\sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
\sin A -\sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
\cos A +\cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
\cos A -\cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}

逆に，和積の公式で \frac{A+B}{2}=\alpha , \frac{A-B}{2}=\beta と置けば積和の公式が得られます．