三角関数の微分2

三角関数の微分1 でイメージをとらえたので，今度は解析的に公式を導いてみます．それには導関数の定義

\frac{df(x)}{dx} =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

を使います．この定義から素直に考えるだけです．

sin関数の導関数

導関数の定義において， f(x) を \sin(x) に置き換えると

\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}

です．ここからどうしたらいいでしょうか． 三角関数に慣れている人なら，つぎの公式が思い浮かぶでしょう．

\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

三角関数同士の足し算を積にする関係式です．微分積分の計算では， 三角関数の足し算を積に変えたり，その逆をしてみるとうまくいくことが多いです． というわけで積の形に変形してみます．

\sin(x+h)-\sin(x) &= 2\cos\frac{(x+h)+(x)}{2}\sin\frac{(x+h)-(x)}{2}\\ &= 2\cos\frac{2x+h}{2}\sin\frac{h}{2}\\ &= 2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}

したがって，導関数の定義の式は

\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{2\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{h}

となり，分子が積の形になりました．分母分子を2で割ると

\frac{d}{dx}\sin(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\ &= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\ &= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}

ここで h\to 0 の極限にもって行けば導関数が得られます． h\to 0 のとき \dfrac{h}{2}\to 0 になるのはいいですよね． 分子がゼロになるのだから分数全体でもゼロです．ですから

\lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)=\cos(x)

です． \sin の方の極限ですが，

\lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}=1

となるのは良いでしょうか． この証明ははさみうちの方法で行いますが，ここでは公式として使います．以上より

\frac{d}{dx}\sin(x) &= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\ &= \cos(x)\cdot 1\\ &= \cos(x)

となり， \sin(x) の導関数が \cos(x) であることが導かれました．

cos関数の導関数

\cos 関数の導関数も同様の方法で導くことができます．

\frac{d}{dx}\cos(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\ &= -\sin(x)\cdot 1\\ &= -\sin(x)

したがって， \cos(x) の導関数が -\sin(x) であることが導かれました．

2階微分したらどうなる？

三角関数の導関数は重要な性質をもちます．それは，2階微分すると関数の形は変わらず， 符号だけ反転するという性質です．つまり，

\frac{d^2}{dx^2}\sin(x) &= \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\\\frac{d^2}{dx^2}\cos(x) &= \frac{d}{dx}\{-\sin(x)\}=-\cos(x)

ということです．実数の範囲では，このような性質をもつ関数は三角関数だけです． この性質により，三角関数は単振動の方程式

\frac{d^2 x}{dt^2}=-\omega^2 x

の解になっています．上式に x=\sin(\omega t),\, x=\cos(\omega t) を 代入して計算すると両辺が等しくなるので，確かに解（特解）になっていることが確認できます．