三角関数の合成

二つの三角関数

a\sin\theta,\quad b\cos\theta

を，一つの三角関数

r\sin(\theta+\phi)

の形に変形することができます．ここで

r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \phi=\tan^{-1}\frac{b}{a}

です．この関係は単振動の合成などで必要となります．

証明

三角関数の合成の関係式を，天下り的に証明します． まず，つぎの図のような直角三角形を考えます．

sakima-trifuncCombine-1.png

ここで r=\sqrt{a^2+b^2} と置きます．すると図から

sakima-trifuncCombine-2.png
sakima-trifuncCombine-3.png

ということが分かります．つぎに r\sin(\theta+\phi) を加法定理で展開します．

r\sin(\theta+\phi) = r(\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi)

ここに先ほどの \sin\phi ， \cos\phi の値を代入して

r\sin(\theta+\phi) &= r\left(\sin\theta\cdot\frac{a}{r}+\cos\theta\cdot\frac{b}{r}\right)\\ &= a\sin\theta+b\cos\theta

が得られ，冒頭で説明した関係式が正しいことが分かります． この関係式は，図と一緒に覚えておくと間違いがなくて良いです．

また， \phi は

\sin\phi=\frac{b}{r},\quad \cos\phi=\frac{a}{r}

の関係を満たす角度ですから， \tan で表すと

\tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{b}{a}

であり， \phi= の形にするには逆三角関数にすれば良く，

\phi=\tan^{-1}\frac{b}{a}

と表せます．

単振動の例

例として，二つの単振動

A_1\sin(\omega t+\phi_1),\quad A_2\sin(\omega t+\phi_2)

を足し合わせて一つの単振動に合成してみます． まず，合成してできあがる単振動の式を

A\sin(\omega t+\phi)

と置いておきます．この段階では A と \phi はどんな値なのか分かりません． 未知数です．合成後の式を上のように置いたのですから，

A\sin(\omega t+\phi) = A_1\sin(\omega t+\phi_1)+A_2\sin(\omega t+\phi_2) \tag{1}

という方程式ができます．これから三角関数の合成をして， いま未知数と置いた A と \phi を決めます．

加法定理で 式(1) の右辺を展開し，整理します．

A_1&\sin(\omega t+\phi_1)+A_2\sin(\omega t+\phi_2)\\ &= A_1(\sin\omega t \cos\phi_1 + \cos\omega t \sin\phi_1) + A_2(\sin\omega t \cos\phi_2 + \cos\omega t \sin\phi_2)\\ &= (A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2)\sin\omega t + (A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2)\cos\omega t

ここで，

A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2=a,\quad A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2=b

と書き換えてみますと 式(1) は

A\sin(\omega t+\phi) = a\sin\omega t + b\cos\omega t

と書けます．これは三角関数の合成の式そのものですね．したがって

A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \phi=\tan^{-1}\frac{b}{a}

です． a と b を元に戻すと

A &= \sqrt{(A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2)^2+(A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2)^2}\\\phi &= \tan^{-1}\frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}

が得られます．